Решение Контрольной Работы по Геометрии: Трапеция и Параллелограмм

Ниже представлено решение контрольной работы по геометрии, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: ABCD — трапеция, \( \angle A = 70^\circ \), \( \angle D = 50^\circ \). Найти: \( \angle B \), \( \angle C \). Решение: Так как основания трапеции BC и AD параллельны, то углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме составляют \( 180^\circ \) (как односторонние углы при параллельных прямых и секущей). \[ \angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \] \[ \angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \] Ответ: \( 110^\circ \), \( 130^\circ \). Задача 2. Дано: ABCD — параллелограмм, основание \( CD = 8 \) м, высота \( DE = 4 \) м. Найти: S. Решение: В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \( AB = CD = 8 \) м. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. \[ S = AB \cdot DE = 8 \cdot 4 = 32 \text{ м}^2 \] Ответ: 32 \( \text{м}^2 \). Задача 3. Дано: ABCD — трапеция, \( CD = 6 \) м, \( AB = 10 \) м, высота \( DE = 4 \) м. Найти: S. Решение: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. \[ S = \frac{AB + CD}{2} \cdot DE \] \[ S = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4 = \frac{16}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32 \text{ м}^2 \] Ответ: 32 \( \text{м}^2 \). Задача 4. Дано: параллелограмм, \( a = 6 \) см, \( b = 15 \) см, \( \alpha = 30^\circ \). Найти: P, S. Решение: 1) Периметр параллелограмма: \[ P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (6 + 15) = 2 \cdot 21 = 42 \text{ см} \] 2) Площадь параллелограмма (Способ 1 — через синус угла): \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot 15 \cdot \sin(30^\circ) = 90 \cdot 0,5 = 45 \text{ см}^2 \] 3) Площадь параллелограмм (Способ 2 — через высоту): Проведем высоту \( h \) к стороне \( b \). В прямоугольном треугольнике высота лежит против угла \( 30^\circ \), значит \( h = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см. \[ S = b \cdot h = 15 \cdot 3 = 45 \text{ см}^2 \] Ответ: \( P = 42 \) см, \( S = 45 \text{ см}^2 \). Задача 5. Дано: треугольник, \( a = 6 \) см, \( b = 9 \) см, \( h_b = 2 \) см (высота к большей стороне). Найти: \( h_a \) (высоту к меньшей стороне). Решение: Площадь треугольника можно вычислить двумя способами через разные стороны и высоты: \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9 \text{ см}^2 \] С другой стороны: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \] Подставим известные значения: \[ 9 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_a \] \[ 9 = 3 \cdot h_a \] \[ h_a = 9 : 3 = 3 \text{ см} \] Ответ: 3 см.