Решение: Реши логарифмическое неравенство

Решение логарифмического неравенства: \[ 3\log_{1/2}^2 x + 5\log_{1/2} x - 2 > 0 \] 1. Область допустимых значений (ОДЗ): Так как аргумент логарифма должен быть положительным, то: \[ x > 0 \] 2. Введем замену переменной: Пусть \( \log_{1/2} x = t \). Тогда неравенство примет вид квадратного неравенства: \[ 3t^2 + 5t - 2 > 0 \] 3. Найдем корни квадратного трехчлена \( 3t^2 + 5t - 2 = 0 \): Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \] \[ \sqrt{D} = 7 \] Корни: \[ t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 \] 4. Решим неравенство относительно \( t \): Так как коэффициент при \( t^2 \) положителен (\( 3 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства \( 3t^2 + 5t - 2 > 0 \) являются интервалы: \[ t < -2 \quad \text{или} \quad t > \frac{1}{3} \] 5. Вернемся к переменной \( x \): А) \( \log_{1/2} x < -2 \) Так как основание логарифма \( \frac{1}{2} < 1 \), при переходе к аргументам знак неравенства меняется: \[ x > (1/2)^{-2} \] \[ x > 2^2 \] \[ x > 4 \] Б) \( \log_{1/2} x > \frac{1}{3} \) Знак неравенства также меняется: \[ x < (1/2)^{1/3} \] \[ x < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \] 6. Учитывая ОДЗ (\( x > 0 \)), объединим результаты: \[ 0 < x < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \quad \text{и} \quad x > 4 \] Ответ: \( x \in (0; \frac{1}{\sqrt[3]{2}}) \cup (4; +\infty) \)