Решение самостоятельной работы: Арифметическая прогрессия (9 класс)

Самостоятельная работа по теме «Арифметическая прогрессия» Вариант 2 Задание 1 Дана арифметическая прогрессия \( (a_n) \): -11; -7; -3... Найдем первый член \( a_1 \) и разность \( d \). Первый член прогрессии виден сразу: \[ a_1 = -11 \] Разность \( d \) находится как разность между последующим и предыдущим членами: \[ d = a_2 - a_1 = -7 - (-11) = -7 + 11 = 4 \] Ответ: \( a_1 = -11 \), \( d = 4 \). Задание 2 Дано: \( a_1 = -3 \), \( d = 2 \), \( a_n = 21 \). Найти \( n \). Воспользуемся формулой n-го члена: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] Подставим известные значения: \[ 21 = -3 + (n - 1) \cdot 2 \] \[ 21 + 3 = 2(n - 1) \] \[ 24 = 2(n - 1) \] \[ n - 1 = 12 \] \[ n = 13 \] Ответ: \( n = 13 \). Задание 3 Дано: \( a_7 + a_3 = -8 \), \( a_8 - a_5 = -6 \). Найти \( a_1 \) и \( d \). Выразим все члены через \( a_1 \) и \( d \): \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_5 = a_1 + 4d \] \[ a_7 = a_1 + 6d \] \[ a_8 = a_1 + 7d \] Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} (a_1 + 6d) + (a_1 + 2d) = -8 \\ (a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = -6 \end{cases} \] Упростим второе уравнение: \[ a_1 + 7d - a_1 - 4d = -6 \] \[ 3d = -6 \] \[ d = -2 \] Подставим \( d = -2 \) в первое уравнение: \[ 2a_1 + 8d = -8 \] \[ 2a_1 + 8 \cdot (-2) = -8 \] \[ 2a_1 - 16 = -8 \] \[ 2a_1 = 8 \] \[ a_1 = 4 \] Ответ: \( a_1 = 4 \), \( d = -2 \). Задание 4 Дано: \( a_n = 6n - 4 \). Найти \( S_{14} \). Найдем первый и четырнадцатый члены прогрессии: \[ a_1 = 6 \cdot 1 - 4 = 2 \] \[ a_{14} = 6 \cdot 14 - 4 = 84 - 4 = 80 \] Воспользуемся формулой суммы первых n членов: \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \] \[ S_{14} = \frac{2 + 80}{2} \cdot 14 \] \[ S_{14} = \frac{82}{2} \cdot 14 = 41 \cdot 14 = 574 \] Ответ: \( S_{14} = 574 \). Задание 5 Дано: \( a_n = 3n - 4 \). Проверить, являются ли числа 16 и 116 членами прогрессии. Число является членом прогрессии, если найденный номер \( n \) — натуральное число (\( n \in \mathbb{N} \)). 1) Для числа 16: \[ 16 = 3n - 4 \] \[ 3n = 20 \] \[ n = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \] Так как \( n \) не является целым числом, 16 не является членом прогрессии. 2) Для числа 116: \[ 116 = 3n - 4 \] \[ 3n = 120 \] \[ n = 40 \] Так как \( n = 40 \) — натуральное число, 116 является 40-м членом прогрессии. Ответ: 16 — нет, 116 — да.