Решение: Нахождение обратной матрицы алгебраическими дополнениями

Задание: Найти обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений. Дана матрица \(A\) при \(k = 3\) и \(n = -1\). 1. Подставим значения \(k\) и \(n\) в матрицу: \(kn = 3 \cdot (-1) = -3\) \(kn - 1 = -3 - 1 = -4\) \(1 - kn = 1 - (-3) = 4\) Получаем матрицу: \[A = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 4 \\ -3 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\] Решение. Проверим, что у матрицы есть обратная (вычислим определитель): \[det A = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 4 \\ -3 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (4 \cdot 1 - (-3) \cdot (-1)) - (-4) \cdot ((-3) \cdot 1 - (-3) \cdot 1) + 4 \cdot ((-3) \cdot (-1) - 4 \cdot 1)\] \[det A = 3 \cdot (4 - 3) + 4 \cdot (-3 + 3) + 4 \cdot (3 - 4) = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 - 4 = -1 \neq 0\] Формула обратной матрицы: \(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (A^*)^T\) Найдем миноры элементов матрицы: \[M_{11} = \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1; \quad M_{12} = \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3 - (-3) = 0; \quad M_{13} = \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1\] \[M_{21} = \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -4 - (-4) = 0; \quad M_{22} = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1; \quad M_{23} = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 - (-4) = 1\] \[M_{31} = \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 12 - 16 = -4; \quad M_{32} = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = -9 - (-12) = 3; \quad M_{33} = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 12 = 0\] Матрица алгебраических дополнений \(A^* = (A_{ij})\), где \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\): \[A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -4 & -3 & 0 \end{pmatrix}\] Находим обратную матрицу: \[A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -4 & -3 & 0 \end{pmatrix}^T = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\] Ответ: \[A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]