Решение матричного произведения: подробный пример

Задание: Найти матричное произведение при \(k = 3\) и \(n = -1\). 1. Сначала подставим значения \(k = 3\) и \(n = -1\) во вторую матрицу: \(k = 3\) \(n = -1\) \(kn = 3 \cdot (-1) = -3\) \(n + 1 = -1 + 1 = 0\) \(k + 1 = 3 + 1 = 4\) \(kn - 1 = -3 - 1 = -4\) Получаем выражение: \[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ -1 & -3 & 0 \\ 4 & 1 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\] 2. Перемножим первые две матрицы (умножаем строку на столбец): \[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ -1 & -3 & 0 \\ 4 & 1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -4 \\ -1 & -3 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\] (Первая матрица просто переставила первую и третью строки второй матрицы). 3. Теперь умножим полученный результат на третью матрицу: \[\begin{pmatrix} 4 & 1 & -4 \\ -1 & -3 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix}\] Вычислим элементы: \[c_{11} = 4 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-4) \cdot 1 = -4\] \[c_{12} = 4 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-4) \cdot 1 = 1 - 4 = -3\] \[c_{13} = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-4) \cdot 0 = 4\] \[c_{21} = (-1) \cdot 0 + (-3) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0\] \[c_{22} = (-1) \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + 0 \cdot 1 = -3\] \[c_{23} = (-1) \cdot 1 + (-3) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -1\] \[c_{31} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1\] \[c_{32} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 3 - 1 = 2\] \[c_{33} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = 1\] Запишем итоговую матрицу: \[\begin{pmatrix} -4 & -3 & 4 \\ 0 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\] Ответ: \[\begin{pmatrix} -4 & -3 & 4 \\ 0 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]