Решение задачи: Определение момента инерции стального барабана. Вариант 9

Практическая работа: Определение момента инерции стального барабана. Вариант 9 (вторая строка с номером 9 в таблице). Исходные данные: Материал — сталь. Плотность стали \(\rho = 7850\) кг/м\(^3\). \(L = 456\) мм = \(0,456\) м \(L_1 = 51\) мм = \(0,051\) м \(L_2 = 25\) мм = \(0,025\) м \(L_3 = 27\) мм = \(0,027\) м \(D = 389\) мм = \(0,389\) м \(d_1 = 309\) мм = \(0,309\) м \(d_2 = 247\) мм = \(0,247\) м \(d_3 = 83\) мм = \(0,083\) м Методика расчета: Для нахождения момента инерции сложного тела вращения разобьем его на простые геометрические фигуры (цилиндры и полые цилиндры). Момент инерции полого цилиндра относительно оси вращения вычисляется по формуле: \[J = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (R_{нар}^2 + R_{внутр}^2)\] Масса цилиндра: \[m = \rho \cdot V = \rho \cdot \pi \cdot (R_{нар}^2 - R_{внутр}^2) \cdot h\] Подставив массу в формулу момента инерции, получим: \[J = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \pi \cdot h \cdot (R_{нар}^4 - R_{внутр}^4) = \frac{\pi \cdot \rho \cdot h}{32} \cdot (D_{нар}^4 - D_{внутр}^4)\] Разобьем барабан на 4 части: 1. Внешняя обечайка (труба): длина \(L\), диаметры \(D\) и \(d_1\). 2. Левая ступица: длина \(L_1\), диаметры \(d_2\) и \(d_3\). 3. Правая ступица: длина \(L_3\), диаметры \(d_2\) и \(d_3\). 4. Диск (стенка): толщина \(L_2\), диаметры \(d_1\) и \(d_2\). Расчет моментов инерции частей: 1. Внешняя обечайка: \[J_1 = \frac{3,14 \cdot 7850 \cdot 0,456}{32} \cdot (0,389^4 - 0,309^4)\] \[J_1 \approx 351,1 \cdot (0,02291 - 0,00912) \approx 351,1 \cdot 0,01379 \approx 4,841 \text{ кг}\cdot\text{м}^2\] 2. Левая ступица: \[J_2 = \frac{3,14 \cdot 7850 \cdot 0,051}{32} \cdot (0,247^4 - 0,083^4)\] \[J_2 \approx 39,27 \cdot (0,00372 - 0,000047) \approx 39,27 \cdot 0,00367 \approx 0,144 \text{ кг}\cdot\text{м}^2\] 3. Правая ступица: \[J_3 = \frac{3,14 \cdot 7850 \cdot 0,027}{32} \cdot (0,247^4 - 0,083^4)\] \[J_3 \approx 20,79 \cdot 0,00367 \approx 0,076 \text{ кг}\cdot\text{м}^2\] 4. Диск (стенка): \[J_4 = \frac{3,14 \cdot 7850 \cdot 0,025}{32} \cdot (0,309^4 - 0,247^4)\] \[J_4 \approx 19,25 \cdot (0,00912 - 0,00372) \approx 19,25 \cdot 0,0054 \approx 0,104 \text{ кг}\cdot\text{м}^2\] Общий момент инерции стального барабана: \[J_{общ} = J_1 + J_2 + J_3 + J_4\] \[J_{общ} = 4,841 + 0,144 + 0,076 + 0,104 = 5,165 \text{ кг}\cdot\text{м}^2\] Ответ: Момент инерции барабана составляет \(5,165 \text{ кг}\cdot\text{м}^2\).