Решение задач 44-53 по Теории Вероятностей

Ниже представлены решения задач с 44 по 53 в удобном для переписывания виде. Задача 44 События называются взаимно противоположными, если они несовместны и их сумма составляет всё пространство исходов (сумма вероятностей равна 1). Хотя \( 0,3 + 0,7 = 1 \), события не обязательно противоположны. Они могут быть совместными или относиться к разным экспериментам. Ответ: Нет, не обязательно. Задача 45 События «сумка бракованная» и «сумка качественная» являются противоположными. Сумма их вероятностей равна 1. \[ P = 1 - 0,03 = 0,97 \] Ответ: 0,97. Задача 46 Всего батареек: \( 1000 + 4 = 1004 \). а) Вероятность дефекта: \[ P = \frac{4}{1004} = \frac{1}{251} \approx 0,004 \] б) Вероятность отсутствия дефекта: \[ P = \frac{1000}{1004} = \frac{250}{251} \approx 0,996 \] Ответ: а) \( \frac{1}{251} \); б) \( \frac{250}{251} \). Задача 47 События «пишет плохо» и «пишет хорошо» — противоположные. \[ P = 1 - 0,19 = 0,81 \] Ответ: 0,81. Задача 48 Вероятность найти приз в каждой четвертой банке: \( P(приз) = \frac{1}{4} = 0,25 \). Вероятность не найти приз: \[ P = 1 - 0,25 = 0,75 \] Ответ: 0,75. Задача 49 Всего 80 аккумуляторов, из них заряжено 76. Значит, не заряжено: \( 80 - 76 = 4 \). Вероятность, что не заряжен: \[ P = \frac{4}{80} = \frac{1}{20} = 0,05 \] Ответ: 0,05. Задача 50 События противоположны, если \( P(C) + P(D) = 1 \). а) \( 0,12 + 0,78 = 0,9 \neq 1 \) (Нет) б) \( 0,14 + 0,86 = 1 \) (Да) в) \( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a+b} = \frac{a+b}{a+b} = 1 \) (Да) г) \( (0,5 + n) + (0,5 - n) = 1 \) (Да) Задача 51 При броске кубика исходы: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. а) \( A = \{6\} \). Противоположное \( \bar{A} \): «не выпала шестерка» {1, 2, 3, 4, 5}. \( P(\bar{A}) = \frac{5}{6} \). б) \( A = \{2, 4, 6\} \). \( \bar{A} \): «выпало нечетное число» {1, 3, 5}. \( P(\bar{A}) = \frac{3}{6} = 0,5 \). в) \( A = \{3, 6\} \). \( \bar{A} \): «выпало число, не кратное трем» {1, 2, 4, 5}. \( P(\bar{A}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). г) \( A = \{2, 3, 4, 5\} \). \( \bar{A} \): «выпало 1 или 6». \( P(\bar{A}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). Задача 52 Всего исходов при двух бросках: \( 6 \cdot 6 = 36 \). а) \( A \): сумма 2 (исход 1+1). \( \bar{A} \): «сумма не равна 2». \( P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} \). б) \( A \): сумма 12 (исход 6+6). \( \bar{A} \): «сумма не равна 12». \( P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} \). в) \( A \): сумма менее 4 (исходы 1+1, 1+2, 2+1 — всего 3). \( \bar{A} \): «сумма 4 или больше». \( P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{36} = \frac{33}{36} = \frac{11}{12} \). г) \( A \): сумма более 10 (исходы 5+6, 6+5, 6+6 — всего 3). \( \bar{A} \): «сумма 10 или меньше». \( P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{36} = \frac{11}{12} \). Задача 53 Всего учеников: \( 15 + 10 = 25 \). а) Событию \( D \) (выбрана девочка) благоприятствует 10 элементарных событий (по числу девочек). б) Вероятность события \( D \): \[ P(D) = \frac{10}{25} = 0,4 \] в) Событие \( \bar{D} \) словами: «выбран мальчик». г) Вероятность события \( \bar{D} \): \[ P(\bar{D}) = \frac{15}{25} = 0,6 \]