Решение: cos α = -4/5, найти sin α, tg α, cos 2α

Ниже представлено подробное решение заданий из раздела Проверь себя! со страницы 163, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1 Дано: \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (II четверть). Найти: \( \sin \alpha \), \( \text{tg } \alpha \), \( \cos 2\alpha \). Решение: 1) Так как \( \alpha \) во II четверти, \( \sin \alpha > 0 \). Из основного тригонометрического тождества: \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \] 2) Находим тангенс: \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} \] 3) Находим косинус двойного угла: \[ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{7}{25} \] Ответ: \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \); \( \text{tg } \alpha = -\frac{3}{4} \); \( \cos 2\alpha = \frac{7}{25} \). Задание 2 Вычислить: 1) \( \cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) 2) \( \sin \frac{8\pi}{3} = \sin(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 3) \( \text{tg } \frac{7\pi}{3} = \text{tg }(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \) 4) \( \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Задание 3 Доказать тождество: 1) \( 3 \cos 2\alpha - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 2 \cos 2\alpha \) Левая часть: \[ 3 \cos 2\alpha - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 3 \cos 2\alpha - 1 \] Вспомним, что \( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \), но здесь проще заметить, что \( 3 \cos 2\alpha - 1 \) не равно \( 2 \cos 2\alpha \) в общем виде. Однако, если в условии опечатка и имелось в виду \( 3 \cos 2\alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \): \[ 3 \cos 2\alpha - \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha \] Тождество доказано (с учетом исправления знака в скобках). 2) \( \frac{\sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{2 \cos 4\alpha} = \sin \alpha \) Применим формулу разности синусов \( \sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} \): \[ \frac{2 \sin \frac{5\alpha - 3\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha + 3\alpha}{2}}{2 \cos 4\alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos 4\alpha}{2 \cos 4\alpha} = \sin \alpha \] \( \sin \alpha = \sin \alpha \). Тождество доказано. Задание 4 Упростить выражение: 1) \( \sin(\alpha - \beta) - \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot \sin(-\beta) \) Используем формулы приведения и нечетность синуса: \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) \( \sin(-\beta) = -\sin \beta \) \[ \sin(\alpha - \beta) - \cos \alpha \cdot (-\sin \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta \] 2) \( \cos^2(\pi - \alpha) - \cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) \) Используем формулы приведения: \( \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha \), значит \( \cos^2(\pi - \alpha) = \cos^2 \alpha \) \( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha \), значит \( \cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin^2 \alpha \) \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \] 3) \( 2 \sin \alpha \sin \beta + \cos(\alpha + \beta) \) Раскроем косинус суммы: \[ 2 \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) \]