Решение задачи о параллельных прямых и секущей (7 класс)

Ниже представлено решение задач Варианта II, оформленное для записи в школьную тетрадь. Задача 1. Дано: \(a \parallel b\), \(c\) — секущая, \(\angle 2 = 62^{\circ}\). Найти: все образовавшиеся углы. Решение: При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются 8 углов. Обозначим их стандартно. 1) \(\angle 2\) и угол, вертикальный ему, равны. Также \(\angle 2\) и соответствующий ему угол при прямой \(a\) равны. 2) По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: \(\angle 1 = \angle 2 = 62^{\circ}\) (так как они накрест лежащие при \(a \parallel b\) и секущей \(c\)). 3) Углы, смежные с \(\angle 2\), в сумме с ним дают \(180^{\circ}\). Пусть это будет \(\angle 3\). \[\angle 3 = 180^{\circ} - \angle 2 = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ}\] 4) Таким образом, четыре угла будут равны по \(62^{\circ}\), а остальные четыре угла будут равны по \(118^{\circ}\). Ответ: \(62^{\circ}, 62^{\circ}, 62^{\circ}, 62^{\circ}, 118^{\circ}, 118^{\circ}, 118^{\circ}, 118^{\circ}\). Задача 2. Дано: \(a \parallel b\), \(c\) — секущая, \(\angle 1 + \angle 2 = 88^{\circ}\). Найти: все образовавшиеся углы. Решение: 1) На рисунке \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(a\) и \(b\). По свойству параллельных прямых: \(\angle 1 = \angle 2\). 2) Так как их сумма равна \(88^{\circ}\), то: \[\angle 1 = \angle 2 = 88^{\circ} : 2 = 44^{\circ}\] 3) Найдем смежный угол (пусть \(\angle 3\)): \[\angle 3 = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}\] 4) Аналогично первой задаче, образуются две группы равных углов. Ответ: четыре угла по \(44^{\circ}\) и четыре угла по \(136^{\circ}\). Задача 3. Дано: \(\angle 1 = \angle 2\), \(\angle 3 = 140^{\circ}\). Найти: \(\angle 4\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются накрест лежащими при прямых \(a, b\) и секущей \(AB\). Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то по признаку параллельности прямых \(a \parallel b\). 2) Углы \(\angle 3\) и \(\angle 4\) являются односторонними при параллельных прямых \(a, b\) и секущей \(AC\). 3) По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов равна \(180^{\circ}\): \[\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}\] \[\angle 4 = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}\] Ответ: \(40^{\circ}\). Задача 4. Дано: \(\triangle CAE\), \(AK\) — биссектриса, \(\angle CAE = 78^{\circ}\). \(KN \parallel CA\), \(N \in AE\). Найти: углы \(\triangle AKN\). Решение: 1) Так как \(AK\) — биссектриса \(\angle CAE\), то: \[\angle CAK = \angle KAN = \angle CAE : 2 = 78^{\circ} : 2 = 39^{\circ}\] Значит, один угол треугольника \(\angle KAN = 39^{\circ}\). 2) Так как \(KN \parallel CA\), то \(\angle CKA = \angle NKA\) (неверно, рассмотрим накрест лежащие). Углы \(\angle CAK\) и \(\angle AKN\) — накрест лежащие при \(KN \parallel CA\) и секущей \(AK\). Следовательно: \[\angle AKN = \angle CAK = 39^{\circ}\] 3) Найдем третий угол треугольника \(\triangle AKN\) (угол \(\angle ANK\)): Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). \[\angle ANK = 180^{\circ} - (\angle KAN + \angle AKN) = 180^{\circ} - (39^{\circ} + 39^{\circ}) = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}\] (Также \(\angle ANK = 102^{\circ}\) как соответствующий углу, смежному с \(\angle CAE\)). Ответ: \(39^{\circ}, 39^{\circ}, 102^{\circ}\).