Решение задачи 4 по геометрии 7 класс

Для того чтобы правильно выполнить чертеж и решение в тетради, воспользуйтесь следующим описанием и расчетами. Задача 4. Дано: \(\triangle CAE\) \(AK\) — биссектриса \(\angle CAE\) \(\angle CAE = 78^{\circ}\) \(KN \parallel CA\) (\(K\) лежит на стороне \(CE\), \(N\) лежит на стороне \(AE\)) Найти: углы \(\triangle AKN\) Чертеж (описание для построения): 1. Нарисуйте произвольный треугольник \(CAE\). 2. Проведите луч \(AK\) из вершины \(A\) так, чтобы он делил угол \(A\) пополам. Точка \(K\) лежит на стороне \(CE\). 3. Из точки \(K\) проведите линию, параллельную стороне \(CA\). Точку пересечения этой линии со стороной \(AE\) обозначьте \(N\). 4. У вас получится маленький треугольник \(AKN\) внутри основного. Решение: 1) Так как \(AK\) — биссектриса угла \(\angle CAE\), она делит его на два равных угла: \[\angle CAK = \angle KAN = \frac{\angle CAE}{2} = \frac{78^{\circ}}{2} = 39^{\circ}\] Таким образом, первый угол искомого треугольника \(\angle KAN = 39^{\circ}\). 2) Рассмотрим параллельные прямые \(KN\) и \(CA\) и секущую \(AK\). Углы \(\angle CAK\) и \(\angle AKN\) являются накрест лежащими. По свойству параллельных прямых: \[\angle AKN = \angle CAK = 39^{\circ}\] Это второй угол треугольника \(AKN\). 3) Найдем третий угол треугольника \(\angle ANK\). Сумма углов любого треугольника равна \(180^{\circ}\): \[\angle ANK = 180^{\circ} - (\angle KAN + \angle AKN)\] \[\angle ANK = 180^{\circ} - (39^{\circ} + 39^{\circ}) = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}\] Ответ: углы треугольника \(AKN\) равны \(39^{\circ}\), \(39^{\circ}\) и \(102^{\circ}\).