Решение задачи №234: Площадь сечения призмы

Решение задачи №234. Дано: Прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Пусть основание — \( \triangle ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \). Катеты: \( AC = 20 \) см, \( BC = 21 \) см. Боковое ребро (высота призмы): \( H = 42 \) см. Сечение проведено через середину гипотенузы перпендикулярно к ней. Найти: \( S_{сеч} \) (площадь сечения). Решение: 1. Найдем гипотенузу \( AB \) основания по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29 \text{ (см)} \] 2. Обозначим точку \( M \) как середину гипотенузы \( AB \). Так как призма прямая, плоскость, перпендикулярная гипотенузе основания, будет представлять собой прямоугольник, одна сторона которого — это отрезок в плоскости основания, а другая — боковое ребро призмы (высота \( H \)). 3. Рассмотрим основание \( \triangle ABC \). Проведем через точку \( M \) прямую \( MK \), перпендикулярную \( AB \), до пересечения с одним из катетов. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) синус угла \( A \) равен: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} \] В прямоугольном треугольнике \( AMK \) (где \( \angle AMK = 90^\circ \)): \[ MK = AM \cdot \tan A \text{ или } MK = \frac{AM}{\cos A} \cdot \sin A \] Так как \( M \) — середина \( AB \), то \( AM = \frac{29}{2} = 14,5 \) см. Найдем \( \cos A \): \[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} \] Тогда длина отрезка \( MK \) в основании: \[ MK = AM \cdot \frac{\sin A}{\cos A} = 14,5 \cdot \frac{21/29}{20/29} = 14,5 \cdot \frac{21}{20} = 14,5 \cdot 1,05 = 15,225 \text{ (см)} \] 4. Однако, нужно проверить, пересечет ли перпендикуляр катет \( AC \) или \( BC \). Поскольку \( AC < BC \), перпендикуляр из середины гипотенузы к ней самой пересечет больший катет \( BC \). Пусть \( MK \perp AB \), где \( K \) лежит на \( BC \). В \( \triangle MBK \): \( \angle B = \angle B \), \( \angle BMK = 90^\circ \). \[ \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} \] \[ MK = MB \cdot \tan B = 14,5 \cdot \frac{AC}{BC} = 14,5 \cdot \frac{20}{21} = \frac{29}{2} \cdot \frac{20}{21} = \frac{290}{21} \approx 13,8 \text{ (см)} \] 5. Сечение является прямоугольником со сторонами \( MK \) и высотой призмы \( H \). \[ S_{сеч} = MK \cdot H \] \[ S_{сеч} = \frac{290}{21} \cdot 42 \] Сократим 42 и 21: \[ S_{сеч} = 290 \cdot 2 = 580 \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: \( 580 \text{ см}^2 \).