Решение задачи 234 с подробным объяснением

Хорошо, давай решим задачу максимально понятно, чтобы было удобно переписать в тетрадь. На рисунке изображена прямая призма. В основании лежит прямоугольный треугольник. Сечение проходит через середину гипотенузы перпендикулярно ей. Такое сечение в прямой призме всегда является прямоугольником, где одна сторона — это отрезок в основании, а вторая — высота призмы. **Дано:** \( \triangle ABC \) — основание, \( \angle C = 90^\circ \). \( AC = 20 \) см, \( BC = 21 \) см (катеты). \( H = 42 \) см (боковое ребро/высота). \( M \) — середина гипотенузы \( AB \). Сечение \( \perp AB \). **Найти:** \( S_{сеч} \) **Решение:** 1) Найдем гипотенузу основания \( AB \) по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29 \text{ (см)} \] 2) Так как \( M \) — середина \( AB \), то: \[ AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{29}{2} = 14,5 \text{ (см)} \] 3) В основании сечение образует отрезок \( MK \), который перпендикулярен гипотенузе \( AB \) (точка \( K \) лежит на катете \( BC \)). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( MBK \). Он подобен треугольнику \( ABC \) по общему острому углу \( B \). Из подобия следует: \[ \frac{MK}{AC} = \frac{MB}{BC} \] Отсюда выражаем длину отрезка \( MK \): \[ MK = \frac{AC \cdot MB}{BC} = \frac{20 \cdot 14,5}{21} = \frac{290}{21} \text{ (см)} \] 4) Сечение представляет собой прямоугольник со сторонами \( MK \) (основание сечения) и \( H \) (высота призмы). Находим его площадь: \[ S_{сеч} = MK \cdot H \] \[ S_{сеч} = \frac{290}{21} \cdot 42 \] Заметим, что \( 42 \) делится на \( 21 \) нацело: \[ S_{сеч} = 290 \cdot 2 = 580 \text{ (см}^2\text{)} \] **Ответ:** \( 580 \text{ см}^2 \).