Задача 234: подробное решение с объяснениями

Ниже представлено подробное пояснение задачи, оформленное так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Дано: \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — прямой параллелепипед. \( AB = 15 \) см, \( AD = 8 \) см. \( \angle BAD = 60^\circ \). \( S_{м.диаг.сеч.} = 130 \) см\(^2\) (площадь меньшего диагонального сечения). Найти: \( S_{полн} \) (площадь полной поверхности). Решение: 1. Найдем меньшую диагональ основания. В основании параллелепипеда лежит параллелограмм \( ABCD \). Меньшая диагональ параллелограмма лежит против меньшего угла. Так как \( \angle BAD = 60^\circ \), то именно диагональ \( BD \) будет меньшей. Применим теорему косинусов для \( \triangle ABD \): \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD) \] Подставим значения: \[ BD^2 = 15^2 + 8^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ BD^2 = 225 + 64 - 2 \cdot 120 \cdot \frac{1}{2} \] \[ BD^2 = 289 - 120 = 169 \] \[ BD = \sqrt{169} = 13 \text{ (см)} \] 2. Найдем высоту параллелепипеда. Диагональное сечение \( BB_1D_1D \) является прямоугольником (так как параллелепипед прямой). Его площадь равна произведению диагонали основания на высоту призмы \( h \): \[ S_{BB_1D_1D} = BD \cdot h \] Отсюда выразим высоту \( h \) (ребро \( BB_1 \)): \[ h = \frac{S_{BB_1D_1D}}{BD} = \frac{130}{13} = 10 \text{ (см)} \] 3. Найдем площадь основания. Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними: \[ S_{осн} = AB \cdot AD \cdot \sin(60^\circ) \] \[ S_{осн} = 15 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{)} \] 4. Найдем площадь боковой поверхности. Она равна произведению периметра основания на высоту: \[ P_{осн} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (15 + 8) = 2 \cdot 23 = 46 \text{ (см)} \] \[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 46 \cdot 10 = 460 \text{ (см}^2\text{)} \] 5. Найдем площадь полной поверхности. Она складывается из площади боковой поверхности и двух площадей оснований: \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \] \[ S_{полн} = 460 + 2 \cdot 60\sqrt{3} = 460 + 120\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: \( (460 + 120\sqrt{3}) \text{ см}^2 \).