Решение задачи 234 с подробным объяснением

Для того чтобы решение в тетради выглядело безупречно, разберем всё «по косточкам»: что это за фигуры, где они находятся и почему мы используем именно эти формулы. **1. Что такое прямой параллелепипед и где его элементы?** Прямой параллелепипед — это «коробка», у которой боковые ребра (вертикальные линии \(AA_1, BB_1, CC_1, DD_1\)) перпендикулярны основанию. * **Основание:** Это параллелограмм \(ABCD\) (пол), лежащий внизу. Его стороны \(AB = 15\) см и \(AD = 8\) см. * **Высота (\(h\)):** Это длина бокового ребра (например, \(BB_1\)). В прямой призме высота совпадает с боковым ребром. **2. Разбор основания (Параллелограмм \(ABCD\))** В параллелограмме две диагонали: \(AC\) и \(BD\). * **Почему \(BD\) — меньшая диагональ?** В параллелограмме против острого угла (\(60^\circ\)) лежит меньшая диагональ, а против тупого (\(120^\circ\)) — большая. Так как нам дана площадь **меньшего** сечения, нам нужно найти именно \(BD\). * **Теорема косинусов:** Это универсальный способ найти третью сторону треугольника, если знаешь две другие и угол между ними. Мы рассматриваем треугольник \(ABD\) на «полу» нашей фигуры. \[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(60^\circ)} = 13 \text{ см} \] **3. Что такое диагональное сечение?** Представь, что ты разрезаешь коробку ножом вертикально по линии диагонали \(BD\). * Получившийся «срез» \(BB_1D_1D\) — это прямоугольник. * Его ширина — это диагональ основания \(BD = 13\) см. * Его высота — это высота всей фигуры \(h\). * По условию площадь этого «среза» \(130 \text{ см}^2\). Значит, чтобы найти высоту, мы делим площадь на ширину: \[ h = \frac{130}{13} = 10 \text{ см} \] **4. Площадь основания (\(S_{осн}\))** Нам нужно знать площадь «пола» и «потолка». Формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними: \[ S_{осн} = AB \cdot AD \cdot \sin(60^\circ) \] Мы используем \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Получаем \(60\sqrt{3}\). В геометрии корни часто оставляют в ответе, это нормально. **5. Площадь боковой поверхности (\(S_{бок}\))** Это площадь четырех «стен» коробки. Чтобы не считать каждую стену отдельно, используют формулу: периметр основания умножить на высоту. * Периметр \(P = 15 + 8 + 15 + 8 = 46\) см. * Высота \(h = 10\) см. * \(S_{бок} = 46 \cdot 10 = 460 \text{ см}^2\). **6. Полная поверхность (\(S_{полн}\))** Это сумма площадей всех поверхностей: 4 стены + пол + потолок. \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \] \[ S_{полн} = 460 + 2 \cdot 60\sqrt{3} = 460 + 120\sqrt{3} \] Складывать число \(460\) и число с корнем \(120\sqrt{3}\) нельзя (это как складывать яблоки и апельсины), поэтому ответ записывается именно в таком виде. **Итоговая запись для тетради:** \[ 1) \text{ Из } \triangle ABD \text{ по т. косинусов: } BD = \sqrt{15^2 + 8^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot 0,5} = 13 \text{ (см).} \] \[ 2) \text{ Высота } h = \frac{S_{сеч}}{BD} = \frac{130}{13} = 10 \text{ (см).} \] \[ 3) S_{осн} = 15 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{).} \] \[ 4) S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 2(15+8) \cdot 10 = 460 \text{ (см}^2\text{).} \] \[ 5) S_{полн} = 460 + 2 \cdot 60\sqrt{3} = 460 + 120\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{).} \]