Решение системы уравнений методом замены переменных

Решение системы уравнений методом введения новых переменных. а) Решим систему: \[ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19 \\ 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 42 \end{cases} \] Заметим, что выражения в левых частях можно сгруппировать. Пусть: \( a = x^2 + y^2 \) \( b = xy \) Тогда система примет вид: \[ \begin{cases} a - b = 19 \\ 3a - 4b = 42 \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \( a \): \( a = 19 + b \) Подставим во второе уравнение: \( 3(19 + b) - 4b = 42 \) \( 57 + 3b - 4b = 42 \) \( -b = 42 - 57 \) \( -b = -15 \) \( b = 15 \) Найдем \( a \): \( a = 19 + 15 = 34 \) Вернемся к переменным \( x \) и \( y \): \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34 \\ xy = 15 \end{cases} \] Воспользуемся формулой квадрата суммы: \( (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \). \( (x+y)^2 = 34 + 2 \cdot 15 = 64 \), значит \( x + y = 8 \) или \( x + y = -8 \). Воспользуемся формулой квадрата разности: \( (x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \). \( (x-y)^2 = 34 - 2 \cdot 15 = 4 \), значит \( x - y = 2 \) или \( x - y = -2 \). Рассмотрим возможные комбинации: 1) \( x+y=8, x-y=2 \Rightarrow 2x=10, x=5, y=3 \) 2) \( x+y=8, x-y=-2 \Rightarrow 2x=6, x=3, y=5 \) 3) \( x+y=-8, x-y=2 \Rightarrow 2x=-6, x=-3, y=-5 \) 4) \( x+y=-8, x-y=-2 \Rightarrow 2x=-10, x=-5, y=-3 \) Ответ к пункту а: (5; 3), (3; 5), (-3; -5), (-5; -3). б) Решим систему: \[ \begin{cases} x + 2\sqrt{xy} + y = 9 \\ x^2 + 3xy + y^2 = 29 \end{cases} \] Заметим, что первое уравнение — это полный квадрат: \( (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 9 \). Однако удобнее ввести переменные: \( a = \sqrt{x} + \sqrt{y} \) (тогда \( a^2 = x + y + 2\sqrt{xy} \)) — это не совсем подходит для второго уравнения. Введем другие переменные: \( a = x + y \) \( b = \sqrt{xy} \), тогда \( xy = b^2 \) Система примет вид: \[ \begin{cases} a + 2b = 9 \\ (x+y)^2 + xy = 29 \Rightarrow a^2 + b^2 = 29 \end{cases} \] Из первого уравнения: \( a = 9 - 2b \). Подставим во второе: \( (9 - 2b)^2 + b^2 = 29 \) \( 81 - 36b + 4b^2 + b^2 = 29 \) \( 5b^2 - 36b + 52 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 52 = 1296 - 1040 = 256 = 16^2 \) \( b_1 = \frac{36 + 16}{10} = 5.2 \) \( b_2 = \frac{36 - 16}{10} = 2 \) Если \( b = 5.2 \), то \( a = 9 - 2 \cdot 5.2 = -1.4 \). Так как \( b = \sqrt{xy} \ge 0 \), а \( x, y \) должны быть положительными для существования корня, то \( x+y \) не может быть отрицательным. Этот корень не подходит. Если \( b = 2 \), то \( a = 9 - 2 \cdot 2 = 5 \). Получаем систему: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ \sqrt{xy} = 2 \Rightarrow xy = 4 \end{cases} \] По теореме Виета это корни уравнения \( t^2 - 5t + 4 = 0 \): \( t_1 = 4, t_2 = 1 \) Значит, \( x = 4, y = 1 \) или \( x = 1, y = 4 \). Ответ к пункту б: (4; 1), (1; 4).