Решение задач 5.10(б) и 5.11(б)

Ниже представлены решения задач, отмеченных кружками на фотографиях. Решение задачи 5.10 (б) Условие: При каких значениях \(m\) ровно один из корней уравнения \(x^2 - 2x + m^2 - 1 = 0\) равен нулю? Для того чтобы один из корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) был равен нулю, необходимо, чтобы свободный член \(c\) был равен нулю, а коэффициент \(b\) не был равен нулю. 1. Выпишем коэффициенты уравнения: \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = m^2 - 1\). 2. Приравняем свободный член к нулю: \[m^2 - 1 = 0\] \[m^2 = 1\] \[m_1 = 1, m_2 = -1\] 3. Проверим условие "ровно один корень". Если \(c = 0\), уравнение принимает вид \(x^2 - 2x = 0\), откуда \(x(x - 2) = 0\). Корни: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\). Условие выполняется. Ответ: \(m = 1; -1\). Решение задачи 5.11 (б) Условие: При каких значениях \(m\) корни уравнения \(2x^2 - (5m - 3)x + 1 = 0\) равны по модулю, но противоположны по знаку? Корни равны по модулю и противоположны по знаку (\(x_1 = -x_2\)), если их сумма равна нулю (\(x_1 + x_2 = 0\)), а дискриминант больше нуля. По теореме Виета сумма корней равна \(-b/a\). 1. Условие \(b = 0\): \[-(5m - 3) = 0\] \[5m - 3 = 0\] \[5m = 3\] \[m = 0,6\] 2. Проверим дискриминант при \(m = 0,6\). Уравнение примет вид: \[2x^2 + 1 = 0\] \[2x^2 = -1\] Данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, таких значений \(m\) не существует. Ответ: значений \(m\) нет. Решение задачи 5.12 (б) Условие: При каких значениях \(m\) оба корня уравнения \(x^2 - (3m^2 + 4m)x + 9m^2 - 16 = 0\) равны нулю? Для того чтобы оба корня были равны нулю, необходимо, чтобы и коэффициент \(b\), и свободный член \(c\) одновременно равнялись нулю. 1. Составим систему уравнений: \[\begin{cases} 3m^2 + 4m = 0 \\ 9m^2 - 16 = 0 \end{cases}\] 2. Решим первое уравнение: \[m(3m + 4) = 0\] \[m_1 = 0, m_2 = -4/3\] 3. Решим второе уравнение: \[(3m - 4)(3m + 4) = 0\] \[m_3 = 4/3, m_4 = -4/3\] 4. Найдем общее решение для обоих уравнений: \[m = -4/3\] Ответ: \(m = -4/3\). Решение задачи 5.32 (б) Условие: Решите уравнение \(x^2 - bx - 2b^2 = 0\). Решим через дискриминант: 1. Находим дискриминант \(D\): \[D = (-b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2b^2) = b^2 + 8b^2 = 9b^2\] \[\sqrt{D} = \sqrt{9b^2} = 3|b|\] 2. Находим корни \(x\): \[x = \frac{-(-b) \pm 3b}{2 \cdot 1} = \frac{b \pm 3b}{2}\] \[x_1 = \frac{b + 3b}{2} = \frac{4b}{2} = 2b\] \[x_2 = \frac{b - 3b}{2} = \frac{-2b}{2} = -b\] Ответ: \(x_1 = 2b, x_2 = -b\).