Решение: Изображение функции f(t) = (cos t - cos 2t)/t

Хорошо, давайте решим первый пример. Нам нужно найти изображение функции: \[ f(t) = \frac{\cos t - \cos 2t}{t} \] Для нахождения изображения этой функции будем использовать свойство преобразования Лапласа: Если \( L\{g(t)\} = G(p) \), то \( L\left\{\frac{g(t)}{t}\right\} = \int_p^\infty G(s) ds \). Сначала найдем изображение функции \( g(t) = \cos t - \cos 2t \). Используем известную формулу для изображения косинуса: \( L\{\cos(at)\} = \frac{p}{p^2 + a^2} \). Тогда: \[ L\{\cos t\} = \frac{p}{p^2 + 1^2} = \frac{p}{p^2 + 1} \] \[ L\{\cos 2t\} = \frac{p}{p^2 + 2^2} = \frac{p}{p^2 + 4} \] Теперь найдем изображение \( g(t) \): \[ G(p) = L\{\cos t - \cos 2t\} = L\{\cos t\} - L\{\cos 2t\} = \frac{p}{p^2 + 1} - \frac{p}{p^2 + 4} \] Теперь применим свойство деления на \( t \): \[ L\left\{\frac{\cos t - \cos 2t}{t}\right\} = \int_p^\infty \left( \frac{s}{s^2 + 1} - \frac{s}{s^2 + 4} \right) ds \] Для вычисления интеграла заметим, что \( \int \frac{s}{s^2 + a^2} ds = \frac{1}{2} \int \frac{2s}{s^2 + a^2} ds = \frac{1}{2} \ln(s^2 + a^2) \). Тогда: \[ \int_p^\infty \left( \frac{s}{s^2 + 1} - \frac{s}{s^2 + 4} \right) ds = \left[ \frac{1}{2} \ln(s^2 + 1) - \frac{1}{2} \ln(s^2 + 4) \right]_p^\infty \] \[ = \frac{1}{2} \left[ \ln\left(\frac{s^2 + 1}{s^2 + 4}\right) \right]_p^\infty \] Теперь подставим пределы интегрирования. При \( s \to \infty \): \[ \lim_{s \to \infty} \ln\left(\frac{s^2 + 1}{s^2 + 4}\right) = \lim_{s \to \infty} \ln\left(\frac{s^2(1 + 1/s^2)}{s^2(1 + 4/s^2)}\right) = \lim_{s \to \infty} \ln\left(\frac{1 + 1/s^2}{1 + 4/s^2}\right) = \ln\left(\frac{1 + 0}{1 + 0}\right) = \ln(1) = 0 \] При \( s = p \): \[ \ln\left(\frac{p^2 + 1}{p^2 + 4}\right) \] Таким образом, интеграл равен: \[ 0 - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{p^2 + 1}{p^2 + 4}\right) = -\frac{1}{2} \ln\left(\frac{p^2 + 1}{p^2 + 4}\right) \] Используя свойство логарифма \( -\ln(x) = \ln(1/x) \): \[ -\frac{1}{2} \ln\left(\frac{p^2 + 1}{p^2 + 4}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{p^2 + 4}{p^2 + 1}\right) \] Окончательный ответ: Изображение функции \( f(t) = \frac{\cos t - \cos 2t}{t} \) равно: \[ F(p) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{p^2 + 4}{p^2 + 1}\right) \]