Решение уравнений: 6x² + 15x = 0, 16x² - 9 = 0, x² - 10x + 9 = 0 - Подробно!

Ниже представлено подробное решение задач из вашего списка, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. 1. Решите уравнение \(6x^2 + 15x = 0\). Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель \(3x\) за скобки: \[3x(2x + 5) = 0\] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \(3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) 2) \(2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x_2 = -2,5\) Ответ: \(0; -2,5\). 2. Решите уравнение \(16x^2 - 9 = 0\). Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть: \[16x^2 = 9\] \[x^2 = \frac{9}{16}\] \[x = \pm \sqrt{\frac{9}{16}}\] \[x_1 = 0,75; x_2 = -0,75\] Ответ: \(0,75; -0,75\). 3. Решите уравнение \(x^2 - 10x + 9 = 0\). Решим через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\] \[\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Ответ: \(1; 9\). 4. Решите уравнение \(3x^2 + 6x + 5 = 0\). Найдем дискриминант: \[D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24\] Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого, равно 144. Найдите эти числа. Пусть \(x\) — первое число, тогда \((x + 7)\) — второе число. Составим уравнение: \[x(x + 7) = 144\] \[x^2 + 7x - 144 = 0\] \[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625\] \[\sqrt{D} = 25\] \[x_1 = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-7 - 25}{2} = -16\] (не подходит, так как числа натуральные) Первое число — 9, второе число — \(9 + 7 = 16\). Ответ: 9 и 16. 6. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь — 24 см\(^2\). Найдите длины сторон прямоугольника. Пусть \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника. Периметр \(P = 2(a + b) = 20 \Rightarrow a + b = 10 \Rightarrow b = 10 - a\). Площадь \(S = a \cdot b = 24\). Подставим \(b\): \[a(10 - a) = 24\] \[10a - a^2 = 24\] \[a^2 - 10a + 24 = 0\] По теореме Виета: \[a_1 + a_2 = 10\] \[a_1 \cdot a_2 = 24\] Корни: \(a_1 = 4, a_2 = 6\). Если \(a = 4\), то \(b = 10 - 4 = 6\). Ответ: 4 см и 6 см.