Решение задач по теме 'Квадратные уравнения'. Вариант 2

Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 2 Задание 7. Решите уравнение \( 6x^2 + 18x = 0 \). Решение: Вынесем общий множитель \( 6x \) за скобки: \[ 6x(x + 3) = 0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( 6x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \) 2) \( x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3 \) Ответ: \( -3; 0 \). Задание 8. Решите уравнение \( 4x^2 - 9 = 0 \). Решение: Перенесем свободный член в правую часть: \[ 4x^2 = 9 \] \[ x^2 = \frac{9}{4} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \] \[ x_1 = 1,5; \quad x_2 = -1,5 \] Ответ: \( -1,5; 1,5 \). Задание 9. Решите уравнение \( x^2 - 8x + 7 = 0 \). Решение: Воспользуемся теоремой Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 7 \end{cases} \] Методом подбора находим корни: \[ x_1 = 1; \quad x_2 = 7 \] Ответ: \( 1; 7 \). Задание 10. Решите уравнение \( 3x^2 + 5x + 6 = 0 \). Решение: Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47 \] Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. Задание 11. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 84. Найдите эти числа. Решение: Пусть \( x \) — первое число, тогда \( (x + 5) \) — второе число. Составим уравнение: \[ x(x + 5) = 84 \] \[ x^2 + 5x - 84 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 19}{2} = -12 \] Так как по условию числа натуральные, \( x_2 = -12 \) не подходит. Первое число: \( 7 \). Второе число: \( 7 + 5 = 12 \). Ответ: \( 7 \) и \( 12 \). Задание 12. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь — 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника. Решение: Пусть \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника. Периметр \( P = 2(a + b) = 22 \), отсюда \( a + b = 11 \). Площадь \( S = a \cdot b = 24 \). Выразим \( b \) через \( a \): \( b = 11 - a \). Подставим в уравнение площади: \[ a(11 - a) = 24 \] \[ 11a - a^2 = 24 \] \[ a^2 - 11a + 24 = 0 \] По теореме Виета: \[ \begin{cases} a_1 + a_2 = 11 \\ a_1 \cdot a_2 = 24 \end{cases} \] Корни уравнения: \( a_1 = 3 \), \( a_2 = 8 \). Если \( a = 3 \), то \( b = 11 - 3 = 8 \). Если \( a = 8 \), то \( b = 11 - 8 = 3 \). Ответ: 3 см и 8 см.