Решение контрольной работы К-3. Вариант А2. Параллельные прямые.

Контрольная работа К-3. Параллельные прямые. Вариант А2. Задача 1. Дано: \[ \angle 1 = 112^{\circ}, \angle 2 = 68^{\circ}, \angle 3 = 63^{\circ} \] Решение: а) Рассмотрим углы 1 и 2. Они являются односторонними при пересечении двух горизонтальных прямых (пусть это прямые \( a \) и \( b \)) секущей (левая наклонная). Найдем их сумму: \[ \angle 1 + \angle 2 = 112^{\circ} + 68^{\circ} = 180^{\circ} \] Так как сумма односторонних углов равна \( 180^{\circ} \), то по признаку параллельности прямых прямые \( a \) и \( b \) параллельны (\( a \parallel b \)). Теперь рассмотрим углы 3 и 4 при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и второй секущей (правая наклонная). Углы 3 и 4 являются накрест лежащими. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: \[ \angle 4 = \angle 3 = 63^{\circ} \] б) Сколько углов, равных \( \angle 4 \), изображено на рисунке? При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Из них 4 угла будут равны между собой (как вертикальные и соответственные). Углу 4 равны: 1. Сам \( \angle 4 \). 2. \( \angle 3 \) (накрест лежащий с \( \angle 4 \)). 3. Угол, вертикальный углу 4. 4. Угол, вертикальный углу 3 (соответственный углу 4). Итого на рисунке (в узле пересечения правой секущей с прямыми) будет 4 таких угла. Ответ: а) \( 63^{\circ} \); б) 4 угла. Задача 2. Дано: Угол (острый), точки \( C \) и \( D \) на одной стороне. \( AC \perp \) (второй стороне), \( BD \perp \) (второй стороне). \( \angle ABD = 55^{\circ} \). Решение: а) Докажем, что \( AC \parallel BD \). По условию \( AC \) и \( BD \) — перпендикуляры к одной и той же прямой (второй стороне угла). Согласно теореме: если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, \( AC \parallel BD \). Что и требовалось доказать. б) Найдем \( \angle CAB \). Так как \( AC \parallel BD \), то углы \( CAB \) и \( ABD \) являются внутренними односторонними при параллельных прямых \( AC \), \( BD \) и секущей \( AB \) (сторона угла, на которой лежат точки \( C \) и \( D \)). Сумма односторонних углов равна \( 180^{\circ} \): \[ \angle CAB + \angle ABD = 180^{\circ} \] \[ \angle CAB = 180^{\circ} - \angle ABD \] \[ \angle CAB = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \] Ответ: а) доказано; б) \( 125^{\circ} \). Задача 3. Дано: Треугольник \( ABC \). Точки \( D \in AB \), \( E \in BC \). Условие: \( \angle BED = \angle BCA \). Доказать: \( \angle BDE = \angle BAC \). Доказательство: Рассмотрим прямые \( DE \) и \( AC \), которые пересекаются секущей \( BC \). По условию \( \angle BED = \angle BCA \). Эти углы являются соответственными при прямых \( DE \), \( AC \) и секущей \( BC \). Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Значит, \( DE \parallel AC \). Теперь рассмотрим те же параллельные прямые \( DE \parallel AC \), но при секущей \( AB \). Углы \( BDE \) и \( BAC \) также являются соответственными для этих параллельных прямых. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, \( \angle BDE = \angle BAC \). Что и требовалось доказать.