Решение вариантов по алгебре с подробным объяснением

Ниже представлено подробное решение заданий для Варианта 1 и Варианта 2. Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписывать в тетрадь. Вариант 1 С-16 1. Вычислите: а) \( \log_{\sqrt{3}} 9 \). Пусть \( \log_{\sqrt{3}} 9 = x \). Тогда \( (\sqrt{3})^x = 9 \). \( (3^{1/2})^x = 3^2 \) \( 3^{x/2} = 3^2 \) \( \frac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4 \). Ответ: 4. б) \( \log_{16} \sqrt[5]{2} \). \( \log_{2^4} 2^{1/5} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \log_2 2 = \frac{1}{20} = 0,05 \). Ответ: 0,05. 2. Область определения \( y = \log_5 (2x - 1) \). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \( 2x - 1 > 0 \) \( 2x > 1 \) \( x > 0,5 \). Ответ: \( x \in (0,5; +\infty) \). 3. График \( y = \lg(-x) \). Область определения: \( -x > 0 \Rightarrow x < 0 \). Это зеркальное отражение графика \( y = \lg x \) относительно оси ординат (OY). График проходит через точку (-1; 0) и приближается к оси OY справа. С-17 1. Прологарифмируйте по основанию 2: \( 16a^6 \sqrt[5]{b^3} \). \( \log_2 (16a^6 b^{3/5}) = \log_2 16 + \log_2 a^6 + \log_2 b^{3/5} = 4 + 6\log_2 |a| + \frac{3}{5}\log_2 b \). 2. Вычислите: а) \( \log_{49} 84 - \log_{49} 12 = \log_{49} \frac{84}{12} = \log_{49} 7 = \log_{7^2} 7 = \frac{1}{2} = 0,5 \). б) \( \frac{\lg 81 + \lg 64}{2\lg 3 + 3\lg 2} = \frac{\lg 3^4 + \lg 2^6}{\lg 3^2 + \lg 2^3} = \frac{4\lg 3 + 6\lg 2}{2\lg 3 + 3\lg 2} = \frac{2(2\lg 3 + 3\lg 2)}{2\lg 3 + 3\lg 2} = 2 \). С-18 1. Решите уравнение: а) \( \log_{1/2} (x^2 - 4x - 1) = -2 \). \( x^2 - 4x - 1 = (1/2)^{-2} \) \( x^2 - 4x - 1 = 4 \) \( x^2 - 4x - 5 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 = 5, x_2 = -1 \). Проверка: оба корня дают положительное число под логарифмом. Ответ: -1; 5. б) \( \log_7 (4x - 6) = \log_7 (2x - 4) \). Система: \( 4x - 6 = 2x - 4 \) и \( 2x - 4 > 0 \). \( 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \). Проверка условия: \( 2(1) - 4 = -2 < 0 \). Корней нет. Ответ: нет корней. 2. Решите неравенство: а) \( \log_{1/3} (3 - 2x) > \log_{1/3} (1 - x) \). Так как основание \( 1/3 < 1 \), знак меняется: \( 3 - 2x < 1 - x \) и \( 1 - x > 0 \). \( -x < -2 \Rightarrow x > 2 \). \( x < 1 \). Система \( x > 2 \) и \( x < 1 \) не имеет решений. Ответ: нет решений. Вариант 2 С-16 1. Вычислите: а) \( \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{32} = \log_{2^{1/2}} 2^{-5} = \frac{-5}{1/2} = -10 \). б) \( \log_{81} \sqrt[3]{3} = \log_{3^4} 3^{1/3} = \frac{1/3}{4} = \frac{1}{12} \). 2. Область определения \( y = \log_{1/3} (3x + 4) \). \( 3x + 4 > 0 \Rightarrow 3x > -4 \Rightarrow x > -4/3 \). Ответ: \( x \in (-1\frac{1}{3}; +\infty) \). С-17 1. Прологарифмируйте по основанию 10: \( 7a^3 \sqrt[3]{b^2} \). \( \lg (7a^3 b^{2/3}) = \lg 7 + 3\lg a + \frac{2}{3}\lg b \). 2. Вычислите: а) \( \log_{36} 84 - \log_{36} 14 = \log_{36} \frac{84}{14} = \log_{36} 6 = \log_{6^2} 6 = 0,5 \). б) \( \frac{\lg 27 + \lg 12}{\lg 2 + 2\lg 3} = \frac{\lg (27 \cdot 12)}{\lg (2 \cdot 9)} = \frac{\lg 324}{\lg 18} = \frac{\lg 18^2}{\lg 18} = \frac{2\lg 18}{\lg 18} = 2 \). С-18 1. Решите уравнение: а) \( \log_2 (x^2 - 3x + 10) = 3 \). \( x^2 - 3x + 10 = 2^3 \) \( x^2 - 3x + 10 = 8 \) \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 2 \). Ответ: 1; 2. б) \( \log_3 (3x - 5) = \log_3 (x - 3) \). \( 3x - 5 = x - 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \). Проверка ОДЗ: \( 1 - 3 = -2 < 0 \). Ответ: нет корней. 2. Решите неравенство: а) \( \log_3 (2x + 3) > \log_3 (x - 1) \). Основание \( 3 > 1 \), знак сохраняется: \( 2x + 3 > x - 1 \Rightarrow x > -4 \). ОДЗ: \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \). Пересечение: \( x > 1 \). Ответ: \( (1; +\infty) \). б) \( \log_{1/2} (2x - 5) < -2 \). \( 2x - 5 > (1/2)^{-2} \) (знак меняется, так как \( 1/2 < 1 \)) \( 2x - 5 > 4 \) \( 2x > 9 \Rightarrow x > 4,5 \). Ответ: \( (4,5; +\infty) \).