Решение задачи 3.184: Упрощение выражения с дробями

Решение задачи № 3.184 1) Найдем значение выражения: \[ \frac{5}{14}t + \frac{9}{35}t - \frac{2}{7}t \] при \( t = 1\frac{7}{23} \). Сначала упростим буквенное выражение, вынеся \( t \) за скобки: \[ \left( \frac{5}{14} + \frac{9}{35} - \frac{2}{7} \right) \cdot t \] Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Для чисел 14, 35 и 7 наименьшим общим кратным является 70. \[ \frac{5 \cdot 5}{70} + \frac{9 \cdot 2}{70} - \frac{2 \cdot 10}{70} = \frac{25 + 18 - 20}{70} = \frac{23}{70} \] Получаем упрощенное выражение: \[ \frac{23}{70}t \] Подставим значение \( t = 1\frac{7}{23} \). Переведем смешанное число в неправильную дробь: \[ t = \frac{1 \cdot 23 + 7}{23} = \frac{30}{23} \] Выполним умножение: \[ \frac{23}{70} \cdot \frac{30}{23} = \frac{23 \cdot 30}{70 \cdot 23} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \] Ответ: \( \frac{3}{7} \). 2) Найдем значение выражения: \[ \frac{7}{12}z - \frac{5}{18}z + \frac{13}{60}z \] при \( z = 3\frac{9}{47} \). Упростим выражение: \[ \left( \frac{7}{12} - \frac{5}{18} + \frac{13}{60} \right) \cdot z \] Найдем общий знаменатель для 12, 18 и 60. Это число 180. \[ \frac{7 \cdot 15}{180} - \frac{5 \cdot 10}{180} + \frac{13 \cdot 3}{180} = \frac{105 - 50 + 39}{180} = \frac{94}{180} \] Сократим дробь на 2: \[ \frac{94}{180} = \frac{47}{90} \] Получаем упрощенное выражение: \[ \frac{47}{90}z \] Подставим значение \( z = 3\frac{9}{47} \). Переведем в неправильную дробь: \[ z = \frac{3 \cdot 47 + 9}{47} = \frac{141 + 9}{47} = \frac{150}{47} \] Выполним умножение: \[ \frac{47}{90} \cdot \frac{150}{47} = \frac{47 \cdot 150}{90 \cdot 47} = \frac{150}{90} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \] Ответ: \( 1\frac{2}{3} \).