Решение задач на нахождение производной функции в точке

На доске представлены задания на нахождение значения производной функции в заданной точке \(x_0\). Ниже приведено подробное решение для оформления в тетрадь. Задание №1 Дано: \[f(x) = x^2 + x + 1\] \[x_0 = 1\] Найти: \(f'(x_0)\) Решение: 1. Найдем производную функции \(f(x)\), используя правила дифференцирования: \[f'(x) = (x^2 + x + 1)' = 2x + 1\] 2. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = 1\): \[f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3\] Ответ: \(f'(1) = 3\). Задание №2 Дано: \[f(x) = \frac{1}{x^2}\] \[x_0 = -2\] Найти: \(f'(x_0)\) Решение: 1. Представим функцию в виде степени для удобства дифференцирования: \[f(x) = x^{-2}\] 2. Найдем производную функции: \[f'(x) = (x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}\] 3. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = -2\): \[f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25\] Ответ: \(f'(-2) = 0,25\).