Решение задач на производные функций

Ниже представлены решения задач на нахождение производных функций, оформленные для записи в тетрадь. 1) Найти производную функции: \[ (-4x^3)' = -4 \cdot 3x^{3-1} = -12x^2 \] 2) Найти производную многочлена: \[ (-3x^3 + 2x^2 - x - 5)' = -3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x - 1 - 0 = -9x^2 + 4x - 1 \] 3) Найти производную функции с корнями: Для решения представим корни в виде степеней: \( \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} \) и \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \). \[ (2\sqrt[4]{x} - \sqrt{x})' = (2x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{2}})' = 2 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \] Переводя обратно в корни: \[ \frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \] 4) Найти \( f'(2) \), если \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \): Сначала найдем общую производную: \[ f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = 2x - 2 \] Теперь подставим значение \( x = 2 \): \[ f'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2 \] Ответ: 2. 5) Найти производную произведения: Используем формулу \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \). \[ ((x^2 - x)(x^3 + x))' = (x^2 - x)'(x^3 + x) + (x^2 - x)(x^3 + x)' = \] \[ = (2x - 1)(x^3 + x) + (x^2 - x)(3x^2 + 1) = \] \[ = (2x^4 + 2x^2 - x^3 - x) + (3x^4 + x^2 - 3x^3 - x) = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x \] 6) Найти производную частного: Используем формулу \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). \[ (\frac{2x^2}{1 - 7x})' = \frac{(2x^2)'(1 - 7x) - 2x^2(1 - 7x)'}{(1 - 7x)^2} = \] \[ = \frac{4x(1 - 7x) - 2x^2(-7)}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 28x^2 + 14x^2}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2} \]