Решение задачи: подробный разбор и ответ

Ниже представлены решения первых пяти задач из вашего списка, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \( a_1 = 15 \) м (расстояние за первую секунду) \( d = 10 \) м (разность прогрессии) \( n = 4 \) (количество секунд) Найти: \( S_4 \) (суммарное расстояние) Решение: Используем формулу суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n \] Подставим значения: \[ S_4 = \frac{2 \cdot 15 + 10(4 - 1)}{2} \cdot 4 \] \[ S_4 = \frac{30 + 30}{2} \cdot 4 = 30 \cdot 4 = 120 \] Ответ: 120 метров. Задача 2. Дано: \( m_0 = 160 \) мг (начальная масса изотопа А) \( T = 8 \) мин (период полураспада) \( t = 40 \) мин (общее время) Найти: \( m_B \) (массу образовавшегося изотопа Б) Решение: 1) Найдем количество периодов полураспада: \[ n = \frac{t}{T} = \frac{40}{8} = 5 \] 2) Найдем оставшуюся массу изотопа А через 40 минут: \[ m_A = \frac{m_0}{2^n} = \frac{160}{2^5} = \frac{160}{32} = 5 \text{ мг} \] 3) Так как масса преобразуется без потерь, масса изотопа Б равна разности начальной и конечной массы изотопа А: \[ m_B = m_0 - m_A = 160 - 5 = 155 \text{ мг} \] Ответ: 155 мг. Задача 3. Дано: \( a_1 = 0,6 \) м \( d = 0,1 \) м \( n = 7 \) Найти: \( S_7 \) Решение: Используем формулу суммы: \[ S_7 = \frac{2 \cdot 0,6 + 0,1(7 - 1)}{2} \cdot 7 \] \[ S_7 = \frac{1,2 + 0,6}{2} \cdot 7 = \frac{1,8}{2} \cdot 7 = 0,9 \cdot 7 = 6,3 \] Ответ: 6,3 метра. Задача 4. Дано: \( b_1 = 8 \) мг (начальная масса) \( q = 3 \) (коэффициент увеличения) \( T = 20 \) мин (период увеличения) \( t = 80 \) мин (общее время) Найти: \( b_n \) Решение: 1) Найдем количество циклов увеличения: \[ n = \frac{80}{20} = 4 \] 2) Масса через 80 минут (это будет 5-й член геометрической прогрессии, так как \( b_1 \) — это 0 минут): \[ b_5 = b_1 \cdot q^4 = 8 \cdot 3^4 = 8 \cdot 81 = 648 \text{ мг} \] Ответ: 648 мг. Задача 5. Дано: \( m_0 = 400 \) мг \( T = 9 \) мин \( t = 36 \) мин Найти: \( m_B \) Решение: 1) Количество периодов: \[ n = \frac{36}{9} = 4 \] 2) Оставшаяся масса изотопа А: \[ m_A = \frac{400}{2^4} = \frac{400}{16} = 25 \text{ мг} \] 3) Масса образовавшегося изотопа Б: \[ m_B = 400 - 25 = 375 \text{ мг} \] Ответ: 375 мг.