Решение: Производная неявно заданной функции y*e^x - x*e^y + 8 = 0

Задание: Найти производную функции, заданной неявно. Пример 1. \[ y \cdot e^x - x \cdot e^y + 8 = 0 \] Решение: Продифференцируем обе части уравнения по \( x \), учитывая, что \( y \) является функцией от \( x \), то есть \( y = y(x) \). Применяем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \) и правило дифференцирования сложной функции. \[ (y \cdot e^x)' - (x \cdot e^y)' + (8)' = 0 \] \[ (y' \cdot e^x + y \cdot e^x) - (1 \cdot e^y + x \cdot e^y \cdot y') + 0 = 0 \] Раскроем скобки: \[ y' e^x + y e^x - e^y - x e^y y' = 0 \] Сгруппируем слагаемые с \( y' \) в левой части, а остальные перенесем в правую: \[ y' e^x - x e^y y' = e^y - y e^x \] Вынесем \( y' \) за скобку: \[ y' (e^x - x e^y) = e^y - y e^x \] Выразим \( y' \): \[ y' = \frac{e^y - y e^x}{e^x - x e^y} \] Ответ: \( y' = \frac{e^y - y e^x}{e^x - x e^y} \) Пример 2. \[ x^3 y^4 + \sin y - 4x = 0 \] Решение: Дифференцируем обе части уравнения по \( x \): \[ (x^3 y^4)' + (\sin y)' - (4x)' = 0 \] Для первого слагаемого используем правило произведения, для второго — производную сложной функции: \[ (3x^2 \cdot y^4 + x^3 \cdot 4y^3 \cdot y') + \cos y \cdot y' - 4 = 0 \] Сгруппируем слагаемые, содержащие \( y' \): \[ 4x^3 y^3 y' + \cos y \cdot y' = 4 - 3x^2 y^4 \] Вынесем \( y' \) за скобку: \[ y' (4x^3 y^3 + \cos y) = 4 - 3x^2 y^4 \] Выразим \( y' \): \[ y' = \frac{4 - 3x^2 y^4}{4x^3 y^3 + \cos y} \] Ответ: \( y' = \frac{4 - 3x^2 y^4}{4x^3 y^3 + \cos y} \)