Решение задачи по стереометрии (рис. 18 а, б, в, г)

Решение задач по стереометрии (рис. 18 а, б, в, г). Во всех задачах \(BK \perp (ABC)\). Расстоянием от точки \(K\) до прямой \(AC\) является длина перпендикуляра \(KH\), где \(H\) лежит на \(AC\). По теореме о трех перпендикулярах, если \(KH \perp AC\), то и его проекция \(BH \perp AC\). Таким образом, \(BH\) — высота треугольника \(ABC\), а искомое расстояние \(KH\) находится из прямоугольного треугольника \(KBH\) по теореме Пифагора: \[KH = \sqrt{BK^2 + BH^2}\] Задача 18, а Дано: \(AB = BC = AC = 6\); \(BK = 5\). 1. Треугольник \(ABC\) — равносторонний. Высота \(BH\) в нем вычисляется по формуле: \[BH = \frac{AC \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\] 2. Из треугольника \(KBH\) (\(\angle B = 90^\circ\)): \[KH = \sqrt{5^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 27} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\] Ответ: \(2\sqrt{13}\). Задача 18, б Дано: \(\angle ABC = 90^\circ\); \(AB = 15\); \(BC = 20\); \(BK = 9\). 1. Найдем гипотенузу \(AC\): \[AC = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\] 2. Высота \(BH\) прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе: \[BH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12\] 3. Из треугольника \(KBH\): \[KH = \sqrt{BK^2 + BH^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\] Ответ: 15. Задача 18, в Дано: \(\angle ACB = 90^\circ\); \(AC = 3\); \(AB = 6\); \(BK = 3\). 1. В треугольнике \(ABC\) катет \(AC\) в два раза меньше гипотенузы \(AB\), значит \(\angle ABC = 30^\circ\). 2. Найдем катет \(BC\): \[BC = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\] 3. Высота \(BH\) в прямоугольном треугольнике \(ABC\) (из вершины прямого угла \(C\) на гипотенузу \(AB\) здесь не подходит, нам нужно расстояние до \(AC\)). Так как \(\angle ACB = 90^\circ\), то отрезок \(BC\) и есть перпендикуляр к прямой \(AC\). Значит, точка \(H\) совпадает с точкой \(C\), и \(BH = BC = 3\sqrt{3}\). 4. Из треугольника \(KBC\): \[KC = \sqrt{BK^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\] Ответ: 6. Задача 18, г Дано: \(ACDF\) — квадрат; \(AK = 4\); \(\angle BAK = 60^\circ\). 1. Из прямоугольного треугольника \(KBA\) (\(\angle KBA = 90^\circ\), так как \(BK\) перпендикулярен плоскости): \[AB = AK \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot 0,5 = 2\] \[BK = AK \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\] 2. Так как \(ACDF\) — квадрат, то \(\angle BAC = 90^\circ\). Значит, \(AB \perp AC\), и точка \(H\) совпадает с точкой \(A\). Отрезок \(BH = AB = 2\). 3. Искомое расстояние — это гипотенуза \(KA\), которая уже дана в условии. \[KH = KA = 4\] Ответ: 4.