Решение задачи: Контрольная работа №4 по теме 'Треугольники', Вариант 1

Контрольная работа №4 по теме "Треугольники" Вариант 1 Теоретическая часть 1. Номера правильных утверждений: 1) Верно. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых. 3) Верно. Сумма смежных углов равна \(180^{\circ}\), поэтому \(180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\). 7) Верно. Это третий признак равенства треугольников (по трем сторонам). Ответ: 1, 3, 7. 2. Используя рисунок, укажите верные утверждения: 1) \(BK\) — биссектриса треугольника \(ABC\). Неверно, \(BK\) перпендикулярна стороне, это высота. 2) \(BK\) — высота треугольника \(ABC\). Верно, так как стоит знак прямого угла (\(90^{\circ}\)). 3) \(CN\) — медиана треугольника \(BCF\). Неверно. 4) \(CN\) — биссектриса треугольника \(BCF\). Верно, так как она делит угол \(C\) на два равных угла по \(29^{\circ}\). 5) \(KS\) — биссектриса треугольника \(KLM\). Неверно, она делит сторону пополам (\(LS=SM=5\)), это медиана. Ответ: 2, 4. 3. Номера рисунков с равнобедренными треугольниками: 1) Углы: \(35^{\circ}\) и \(35^{\circ}\). Два угла равны, значит треугольник равнобедренный. 2) Углы: \(90^{\circ}\) и \(45^{\circ}\). Третий угол: \(180^{\circ} - (90^{\circ} + 45^{\circ}) = 45^{\circ}\). Два угла равны, треугольник равнобедренный. 3) Углы: \(40^{\circ}\) и \(70^{\circ}\). Третий угол: \(180^{\circ} - (40^{\circ} + 70^{\circ}) = 70^{\circ}\). Два угла равны, треугольник равнобедренный. 4) Углы: \(55^{\circ}\) и \(65^{\circ}\). Третий угол: \(180^{\circ} - (55^{\circ} + 65^{\circ}) = 60^{\circ}\). Все углы разные. Ответ: 1, 2, 3. Практическая часть 4. Доказательство: Дано: \(ME\) и \(PK\) пересекаются в точке \(D\), \(MD = DE\), \(PD = DK\). Доказать: \(\angle KMD = \angle PED\). 1) Рассмотрим \(\triangle MKD\) и \(\triangle EPD\). 2) \(MD = DE\) и \(PD = DK\) по условию. 3) \(\angle MDK = \angle EDP\) как вертикальные. 4) Следовательно, \(\triangle MKD = \triangle EPD\) по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 5) В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит \(\angle KMD = \angle PED\). Что и требовалось доказать. 5. Решение: Дано: \(\angle ABE = 104^{\circ}\), \(\angle DCF = 76^{\circ}\), \(AC = 12\) см. Найти: \(AB\). 1) Найдем внутренний угол \(A\) треугольника \(ABC\). Углы \(\angle BAC\) и \(\angle ABE\) — это не связанные напрямую углы, но на рисунке видно, что \(\angle BAC\) и \(\angle ABE\) смежные (если \(E\) лежит на продолжении \(AC\)). Однако, судя по расположению дуг: \(\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABE = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ}\) (как смежные). 2) Угол \(\angle BCA\) и \(\angle DCF\) — вертикальные, значит \(\angle BCA = \angle DCF = 76^{\circ}\). 3) В треугольнике \(ABC\) два угла равны: \(\angle BAC = \angle BCA = 76^{\circ}\). 4) Следовательно, \(\triangle ABC\) — равнобедренный с основанием \(AC\). 5) В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны: \(AB = BC\). Но так как углы при \(A\) и \(C\) равны, то основанием является \(AC\), а боковыми сторонами \(AB\) и \(BC\). Нам дано \(AC = 12\). Для нахождения \(AB\) данных о периметре нет, но если предположить, что треугольник равносторонний (что не так) или есть опечатка в условии задачи относительно сторон, то решение останавливается на определении вида треугольника. Если же \(\angle B\) также равен \(76^{\circ}\), то он был бы равносторонним. Перепроверим: \(180 - 76 - 76 = 28^{\circ}\). Треугольник равнобедренный, \(AB = BC\). Обычно в таких задачах \(AB = AC\), если углы при основании \(B\) и \(C\). Если \(AC\) — основание, то \(AB\) вычислить нельзя без доп. данных. Скорее всего, в условии подразумевалось, что \(AB = AC\). Если \(AB = AC\), то \(AB = 12\) см. Ответ: \(AB = 12\) см (при условии \(AB=AC\)).