Решение задач на нахождение производных

Задание 2. Вычислить производную следующих функций: 1. \(y = \sqrt[2]{3}\) Так как \(\sqrt{3}\) — это постоянная величина (константа), то её производная равна нулю. \[y' = 0\] 2. \(y = 3x^8 - 7x - 2,5\) Используем правило производной степенной функции \((x^n)' = nx^{n-1}\): \[y' = 3 \cdot 8x^7 - 7 \cdot 1 - 0 = 24x^7 - 7\] 3. \(y = e^{2x} + x^2\) Используем правило производной сложной функции для \(e^{2x}\): \[y' = (e^{2x})' \cdot (2x)' + (x^2)' = 2e^{2x} + 2x\] 4. \(y = e^{2x+2} + 2x^2\) Аналогично предыдущему пункту: \[y' = e^{2x+2} \cdot (2x+2)' + 2 \cdot 2x = 2e^{2x+2} + 4x\] 5. \(y = 2^x - x^{-2}\) Используем формулы \((a^x)' = a^x \ln a\) и \((x^n)' = nx^{n-1}\): \[y' = 2^x \ln 2 - (-2)x^{-3} = 2^x \ln 2 + \frac{2}{x^3}\] 6. \(y = 2\ln x + 3^x\) \[y' = 2 \cdot \frac{1}{x} + 3^x \ln 3 = \frac{2}{x} + 3^x \ln 3\] 7. \(y = \sin x - 2\) \[y' = \cos x - 0 = \cos x\] 8. \(y = (x^2 + x)(x^3 - x)\) Раскроем скобки перед дифференцированием для упрощения: \[y = x^5 - x^3 + x^4 - x^2 = x^5 + x^4 - x^3 - x^2\] \[y' = 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 2x\] 9. \(y = \frac{x^3 + 1}{x + 1}\) Заметим, что числитель можно разложить по формуле суммы кубов: \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)\). При \(x \neq -1\): \[y = \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1} = x^2 - x + 1\] Находим производную упрощенного выражения: \[y' = 2x - 1\]