Решение уравнения: √[x - 8√(x-3) + 13] + √[x - 10√(x-3) + 22] = 1

Задание: Решить уравнение \[ \sqrt{x - 8\sqrt{x-3} + 13} + \sqrt{x - 10\sqrt{x-3} + 22} = 1 \] Решение: 1. Сделаем замену переменной для упрощения вида уравнения. Пусть \( \sqrt{x-3} = t \), где \( t \ge 0 \). Тогда \( x - 3 = t^2 \), следовательно \( x = t^2 + 3 \). 2. Подставим \( x \) и \( \sqrt{x-3} \) в исходное уравнение: \[ \sqrt{t^2 + 3 - 8t + 13} + \sqrt{t^2 + 3 - 10t + 22} = 1 \] \[ \sqrt{t^2 - 8t + 16} + \sqrt{t^2 - 10t + 25} = 1 \] 3. Заметим, что под корнями находятся полные квадраты: \( t^2 - 8t + 16 = (t - 4)^2 \) \( t^2 - 10t + 25 = (t - 5)^2 \) 4. Уравнение принимает вид: \[ \sqrt{(t - 4)^2} + \sqrt{(t - 5)^2} = 1 \] Используя свойство \( \sqrt{a^2} = |a| \), получаем: \[ |t - 4| + |t - 5| = 1 \] 5. Решим это уравнение относительно \( t \). Рассмотрим промежутки: а) Если \( t < 4 \): \[ -(t - 4) - (t - 5) = 1 \Rightarrow -t + 4 - t + 5 = 1 \Rightarrow -2t = -8 \Rightarrow t = 4 \] (не входит в промежуток). б) Если \( 4 \le t \le 5 \): \[ (t - 4) - (t - 5) = 1 \Rightarrow t - 4 - t + 5 = 1 \Rightarrow 1 = 1 \] Это верное равенство, значит, решением является весь отрезок \( t \in [4; 5] \). в) Если \( t > 5 \): \[ (t - 4) + (t - 5) = 1 \Rightarrow 2t - 9 = 1 \Rightarrow 2t = 10 \Rightarrow t = 5 \] (не входит в промежуток). 6. Таким образом, \( 4 \le t \le 5 \). Вернемся к переменной \( x \): \[ 4 \le \sqrt{x-3} \le 5 \] Возведем все части в квадрат: \[ 16 \le x - 3 \le 25 \] Прибавим 3 ко всем частям: \[ 19 \le x \le 28 \] Ответ: \( x \in [19; 28] \).