Решение уравнения: √2x+8 + √x-2 = 2√x+1

Задание: Реши уравнение и запиши ответ \[ \sqrt{2x + 8} + \sqrt{x - 2} = 2\sqrt{x + 1} \] Решение: 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: \( 2x + 8 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4 \) \( x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \) \( x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \) Общее условие: \( x \ge 2 \). 2. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{2x + 8} + \sqrt{x - 2})^2 = (2\sqrt{x + 1})^2 \] \[ (2x + 8) + 2\sqrt{(2x + 8)(x - 2)} + (x - 2) = 4(x + 1) \] 3. Упростим выражение: \[ 3x + 6 + 2\sqrt{2x^2 - 4x + 8x - 16} = 4x + 4 \] \[ 2\sqrt{2x^2 + 4x - 16} = 4x + 4 - 3x - 6 \] \[ 2\sqrt{2x^2 + 4x - 16} = x - 2 \] 4. Снова возведем в квадрат. При этом должно выполняться условие \( x - 2 \ge 0 \), что совпадает с нашей ОДЗ (\( x \ge 2 \)): \[ 4(2x^2 + 4x - 16) = (x - 2)^2 \] \[ 8x^2 + 16x - 64 = x^2 - 4x + 4 \] 5. Перенесем всё в левую часть и приведем подобные слагаемые: \[ 7x^2 + 20x - 68 = 0 \] 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = 20^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-68) = 400 + 1904 = 2304 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48 \] 7. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-20 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-20 - 48}{14} = \frac{-68}{14} = -\frac{34}{7} \] 8. Проверим корни по ОДЗ (\( x \ge 2 \)): Корень \( x_2 = -\frac{34}{7} \) не подходит, так как он меньше 2. Корень \( x_1 = 2 \) подходит. Проверка: При \( x = 2 \): \( \sqrt{2 \cdot 2 + 8} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{12} + 0 = 2\sqrt{3} \). Правая часть: \( 2\sqrt{2 + 1} = 2\sqrt{3} \). \( 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) — верно. Ответ: 2.