Решение задачи: Выбор сотрудников в командировку

Задача: Из лаборатории, в которой работает 8 человек, 4 сотрудника должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории и его заместитель одновременно уезжать не должны? Решение: 1. Сначала найдем общее количество способов выбрать 4 сотрудников из 8 без учета каких-либо ограничений. Так как порядок выбора в группу не важен, используем формулу сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \[ C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \] \[ C_8^4 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 5 \cdot 2 \cdot 7 = 70 \] 2. Теперь найдем количество "запрещенных" составов групп, в которых начальник и заместитель уезжают вместе. Если начальник и заместитель уже включены в группу, нам остается выбрать еще 2 человек из оставшихся 6 сотрудников (так как \( 8 - 2 = 6 \)): \[ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \] \[ C_6^2 = \frac{5 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 15 \] 3. Чтобы найти количество допустимых составов, нужно из общего числа способов вычесть количество запрещенных: \[ 70 - 15 = 55 \] Ответ: 55. (Третий вариант в списке).