Решение задачи о маршрутах в сетке 5x9

Задача: Сколько различных маршрутов может избрать пешеход, передвигающийся из нижнего левого в верхний правый угол прямоугольной сетки формата \( 5 \times 9 \), если разрешены передвижения только вверх и вправо, с шагом, равным шагу сетки? Решение: 1. Проанализируем размеры сетки. Сетка формата \( 5 \times 9 \) означает, что пешеходу нужно пройти 5 шагов в одном направлении и 9 шагов в другом. Обычно под форматом сетки подразумевают количество узлов или интервалов. В задачах на поиск путей в сетке \( m \times n \) подразумевается, что нужно сделать \( m \) шагов по вертикали и \( n \) шагов по горизонтали. 2. Таким образом, общее количество шагов, которое должен сделать пешеход: \[ N = 5 + 9 = 14 \] 3. Любой маршрут представляет собой последовательность из 14 шагов, в которой ровно 5 шагов сделаны вверх и 9 шагов вправо. Задача сводится к поиску количества способов выбрать 5 позиций для шагов "вверх" из общего количества 14 шагов (или 9 позиций для шагов "вправо", результат будет одинаковым). 4. Используем формулу сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае \( n = 14 \), \( k = 5 \): \[ C_{14}^5 = \frac{14!}{5! \cdot (14-5)!} = \frac{14!}{5! \cdot 9!} \] 5. Произведем вычисления: \[ C_{14}^5 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \] Сократим дробь: \( 2 \cdot 5 = 10 \) (сокращается с 10 в числителе) \( 3 \cdot 4 = 12 \) (сокращается с 12 в числителе) Остается: \[ 11 \cdot 13 \cdot 14 = 143 \cdot 14 = 2002 \] Ответ: 2002. (Вариант a).