Решение системы уравнений: 2x^2 - 3xy + y^2 = 12 и 3x^2 - 4xy - 2y^2 = 8

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 12 \\ 3x^2 - 4xy - 2y^2 = 8 \end{cases} \] Это однородная система уравнений. Чтобы решить её, избавимся от свободных членов в правой части. 1. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы получить в правых частях число 24: \[ \begin{cases} 4x^2 - 6xy + 2y^2 = 24 \\ 9x^2 - 12xy - 6y^2 = 24 \end{cases} \] 2. Приравняем левые части уравнений: \[ 9x^2 - 12xy - 6y^2 = 4x^2 - 6xy + 2y^2 \] \[ 5x^2 - 6xy - 8y^2 = 0 \] 3. Разделим уравнение на \( y^2 \) (заметим, что если \( y = 0 \), то из системы следует \( 2x^2 = 12 \) и \( 3x^2 = 8 \), что невозможно одновременно): \[ 5\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 6\left(\frac{x}{y}\right) - 8 = 0 \] Пусть \( \frac{x}{y} = k \), тогда: \[ 5k^2 - 6k - 8 = 0 \] \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196 = 14^2 \] \[ k_1 = \frac{6 + 14}{10} = 2; \quad k_2 = \frac{6 - 14}{10} = -0,8 \] 4. Рассмотрим два случая: Случай 1: \( k = 2 \Rightarrow x = 2y \). Подставим в первое уравнение исходной системы: \[ 2(2y)^2 - 3(2y)y + y^2 = 12 \] \[ 8y^2 - 6y^2 + y^2 = 12 \] \[ 3y^2 = 12 \] \[ y^2 = 4 \] \[ y_1 = 2, \quad x_1 = 2 \cdot 2 = 4 \] \[ y_2 = -2, \quad x_2 = 2 \cdot (-2) = -4 \] Случай 2: \( k = -0,8 \Rightarrow x = -0,8y \). Подставим в первое уравнение: \[ 2(-0,8y)^2 - 3(-0,8y)y + y^2 = 12 \] \[ 1,28y^2 + 2,4y^2 + y^2 = 12 \] \[ 4,68y^2 = 12 \] \[ y^2 = \frac{12}{4,68} = \frac{1200}{468} = \frac{100}{39} \] \[ y_3 = \frac{10}{\sqrt{39}}, \quad x_3 = -0,8 \cdot \frac{10}{\sqrt{39}} = -\frac{8}{\sqrt{39}} \] \[ y_4 = -\frac{10}{\sqrt{39}}, \quad x_4 = \frac{8}{\sqrt{39}} \] Ответ: \( (4; 2), (-4; -2), (-\frac{8}{\sqrt{39}}; \frac{10}{\sqrt{39}}), (\frac{8}{\sqrt{39}}; -\frac{10}{\sqrt{39}}) \).