Доказательство признака равнобедренного треугольника

Теорема (признак равнобедренного треугольника): Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Дано: \(\triangle ABC\) \(\angle B = \angle C\) Доказать: \(AB = AC\) (треугольник равнобедренный) Доказательство: 1. Проведем из вершины \(A\) биссектрису \(AD\) к стороне \(BC\). По определению биссектрисы она делит угол \(A\) пополам, следовательно: \[\angle BAD = \angle CAD\] 2. Рассмотрим полученные треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\). В них: — Сторона \(AD\) — общая. — \(\angle BAD = \angle CAD\) (по построению). — \(\angle B = \angle C\) (по условию). 3. Так как сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\), мы можем найти третий угол в каждом треугольнике: \[\angle ADB = 180^\circ - (\angle B + \angle BAD)\] \[\angle ADC = 180^\circ - (\angle C + \angle CAD)\] Так как соответствующие углы в скобках равны, то и: \[\angle ADB = \angle ADC\] 4. Теперь мы видим, что в треугольниках \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) сторона \(AD\) — общая, а прилежащие к ней углы равны (\(\angle BAD = \angle CAD\) и \(\angle ADB = \angle ADC\)). Следовательно: \[\triangle ABD = \triangle ACD \text{ (по второму признаку равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам)}\] 5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: \[AB = AC\] 6. Так как две стороны треугольника равны, то по определению \(\triangle ABC\) — равнобедренный. Что и требовалось доказать.