Решение уравнения: 3sin²x - sinxcosx = 2

Понял вас, давайте пересчитаем уравнение с первой фотографии более внимательно. На доске написано: \[ 3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2 \] Это однородное тригонометрическое уравнение (после преобразования правой части). Для его решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( 2 = 2 \cdot 1 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \). Решение: \[ 3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \] Раскроем скобки в правой части: \[ 3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x \] Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: \[ 3\sin^2 x - 2\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 \] Приведем подобные слагаемые: \[ \sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 \] Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (при условии, что \( \cos x \neq 0 \), так как если \( \cos x = 0 \), то и \( \sin x \) должен быть равен \( 0 \), что невозможно по основному тождеству): \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \] \[ \text{tg}^2 x - \text{tg } x - 2 = 0 \] Введем замену переменной: пусть \( \text{tg } x = t \). Получаем квадратное уравнение: \[ t^2 - t - 2 = 0 \] Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2 \] \[ t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Вернемся к замене: 1) \( \text{tg } x = 2 \) \[ x = \text{arctg } 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] 2) \( \text{tg } x = -1 \) \[ x = \text{arctg}(-1) + \pi k \] \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = \text{arctg } 2 + \pi n \); \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).