Решение заданий 1-5. Вариант 1

Вариант 1. Задание 1. Найти \(ctg \alpha\), если \(sin \alpha = 0,8\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Решение: 1) Угол \(\alpha\) находится во второй четверти, где косинус и котангенс отрицательны. 2) Найдем \(cos \alpha\) по основному тригонометрическому тождеству: \[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36\] Так как \(\alpha\) во II четверти, то \(cos \alpha = -\sqrt{0,36} = -0,6\). 3) Найдем котангенс: \[ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{-0,6}{0,8} = -\frac{6}{8} = -0,75\] Ответ: -0,75. Задание 2. Решить уравнение: \(\sqrt{10 + 2x + x^2} = 2x - 1\). Решение: 1) Возведем обе части в квадрат при условии, что \(2x - 1 \ge 0\) (т.е. \(x \ge 0,5\)): \[10 + 2x + x^2 = (2x - 1)^2\] \[10 + 2x + x^2 = 4x^2 - 4x + 1\] 2) Перенесем всё в одну сторону: \[3x^2 - 6x - 9 = 0\] Разделим на 3: \[x^2 - 2x - 3 = 0\] 3) По теореме Виета: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\). 4) Проверка условия \(x \ge 0,5\): \(x = 3\) подходит (\(3 \ge 0,5\)). \(x = -1\) не подходит (\(-1 < 0,5\)). Ответ: 3. Задание 3. Решить уравнение: \(ln(x - 1) + ln(x + 4) = ln 6\). Решение: 1) Область допустимых значений (ОДЗ): \(x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\) \(x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4\) Итого ОДЗ: \(x > 1\). 2) Используем свойство логарифмов: \[ln((x - 1)(x + 4)) = ln 6\] \[(x - 1)(x + 4) = 6\] \[x^2 + 4x - x - 4 = 6\] \[x^2 + 3x - 10 = 0\] 3) По теореме Виета: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 2\). 4) С учетом ОДЗ (\(x > 1\)) подходит только \(x = 2\). Ответ: 2. Задание 4. Решить неравенство: \(4^x - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0\). Решение: 1) Сделаем замену \(2^x = t\), где \(t > 0\). Тогда \(4^x = t^2\). \[t^2 - 3t + 2 \le 0\] 2) Найдем корни уравнения \(t^2 - 3t + 2 = 0\): \(t_1 = 1\), \(t_2 = 2\). 3) Решением неравенства для \(t\) будет промежуток: \[1 \le t \le 2\] 4) Вернемся к замене: \[1 \le 2^x \le 2\] \[2^0 \le 2^x \le 2^1\] \[0 \le x \le 1\] Ответ: [0; 1]. Задание 5. Решить уравнение: \(tg^2 x - 3tg x + 2 = 0\). Решение: 1) Сделаем замену \(tg x = t\). \[t^2 - 3t + 2 = 0\] 2) Корни уравнения: \(t_1 = 1\), \(t_2 = 2\). 3) Обратная замена: а) \(tg x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z\). б) \(tg x = 2 \Rightarrow x = arctg 2 + \pi k, k \in Z\). Ответ: \(\frac{\pi}{4} + \pi n; arctg 2 + \pi k, n, k \in Z\).