Решение задач 249-260: Производные сложных функций

Ниже представлены решения задач с 249 по 260 на нахождение производных сложных функций. Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Задание 249. \( y = \ln x^2 \) Решение: \[ y' = \frac{1}{x^2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x} \] Задание 250. \( y = \ln(x^3 - 1) \) Решение: \[ y' = \frac{1}{x^3 - 1} \cdot (x^3 - 1)' = \frac{3x^2}{x^3 - 1} \] Задание 251. \( y = \ln x^3 \) Решение: \[ y' = \frac{1}{x^3} \cdot (x^3)' = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x} \] Задание 252. \( y = \ln(x^2 + 3) \) Решение: \[ y' = \frac{1}{x^2 + 3} \cdot (x^2 + 3)' = \frac{2x}{x^2 + 3} \] Задание 253. \( y = \ln \sin x \) Решение: \[ y' = \frac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)' = \frac{\cos x}{\sin x} = \text{ctg } x \] Задание 254. \( f(x) = \ln^3(x^2 - 1) \) Решение: \[ f'(x) = 3\ln^2(x^2 - 1) \cdot (\ln(x^2 - 1))' = 3\ln^2(x^2 - 1) \cdot \frac{1}{x^2 - 1} \cdot 2x = \frac{6x \ln^2(x^2 - 1)}{x^2 - 1} \] Задание 255. \( y = \ln \sin 3x \) Решение: \[ y' = \frac{1}{\sin 3x} \cdot (\sin 3x)' = \frac{1}{\sin 3x} \cdot \cos 3x \cdot 3 = 3 \text{ctg } 3x \] Задание 256. \( y = \ln^2 \sin 2x \) Решение: \[ y' = 2\ln \sin 2x \cdot (\ln \sin 2x)' = 2\ln \sin 2x \cdot \frac{1}{\sin 2x} \cdot \cos 2x \cdot 2 = 4 \text{ctg } 2x \cdot \ln \sin 2x \] Задание 257. \( y = \ln \sin^3 5x \) Решение: Используем свойство логарифма \( \ln a^b = b \ln a \): \( y = 3 \ln \sin 5x \) \[ y' = 3 \cdot \frac{1}{\sin 5x} \cdot \cos 5x \cdot 5 = 15 \text{ctg } 5x \] Задание 258. \( y = \ln \frac{x+2}{x-2} \) Решение: Используем свойство \( \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b \): \( y = \ln(x+2) - \ln(x-2) \) \[ y' = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-2} = \frac{x-2 - (x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{-4}{x^2 - 4} = \frac{4}{4 - x^2} \] Задание 259. \( y = \ln \sqrt{2x-1} \) Решение: Представим корень как степень: \( y = \ln(2x-1)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln(2x-1) \) \[ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2x-1} \cdot 2 = \frac{1}{2x-1} \] Задание 260. \( y = \ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \) Решение: Упростим выражение: \( y = \frac{1}{2} (\ln(1-x) - \ln(1+x)) \) \[ y' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-x} \cdot (-1) - \frac{1}{1+x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1-x-1+x}{1-x^2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-2}{1-x^2} = \frac{1}{x^2-1} \]