Решение задачи с чертежом: MN || AB

Ниже представлено решение задач Варианта 1 из вашей карточки. Оформление выполнено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: \(\triangle ABC\), \(M \in AC\), \(N \in BC\). \(AC = 16\), \(BC = 12\), \(CM = 12\), \(CN = 9\). Доказать: \(MN \parallel AB\). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \(MNC\) и \(ABC\). У них угол \(C\) — общий. 2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу: \[ \frac{CM}{AC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \] \[ \frac{CN}{BC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \] 3. Так как \(\frac{CM}{AC} = \frac{CN}{BC}\) и \(\angle C\) — общий, то \(\triangle MNC \sim \triangle ABC\) по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). 4. Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle CMN = \angle CAB\). 5. Эти углы являются соответственными при прямых \(MN\), \(AB\) и секущей \(AC\). Раз соответственные углы равны, то \(MN \parallel AB\). Что и требовалось доказать. Задача 2 Дано: \(\triangle ABC\): \(AB = 8\) см, \(BC = 12\) см, \(AC = 16\) см. \(\triangle KMN\): \(KM = 10\) см, \(MN = 15\) см, \(NK = 20\) см. Найти: \(S_{ABC} : S_{KMN}\). Решение: 1. Проверим, являются ли треугольники подобными. Для этого составим отношения соответственных сторон (от меньшей к большей): \[ \frac{AB}{KM} = \frac{8}{10} = 0,8 \] \[ \frac{BC}{MN} = \frac{12}{15} = 0,8 \] \[ \frac{AC}{NK} = \frac{16}{20} = 0,8 \] 2. Так как отношения сторон равны, то \(\triangle ABC \sim \triangle KMN\) по третьему признаку подобия (по трем сторонам). Коэффициент подобия \(k = 0,8 = \frac{4}{5}\). 3. Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = k^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \] Ответ: \(16 : 25\) (или \(0,64\)). Задача 3 Дано: Трапеция \(ABCD\), \(AB \parallel CD\), \(AC \cap BD = O\). б) \(OD = 15\) см, \(OB = 9\) см, \(CD = 25\) см. Найти: \(AB\). Решение: а) Доказательство: Рассмотрим \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). 1. \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные. 2. \(\angle OAB = \angle OCD\) как накрест лежащие при \(AB \parallel CD\) и секущей \(AC\). Следовательно, \(\triangle AOB \sim \triangle COD\) по двум углам. Из подобия следует: \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\). Что и требовалось доказать. б) Поиск \(AB\): Из подобия тех же треугольников (\(\triangle AOB \sim \triangle COD\)) следует: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD} \] Подставим известные значения: \[ \frac{AB}{25} = \frac{9}{15} \] \[ AB = \frac{25 \cdot 9}{15} = \frac{25 \cdot 3}{5} = 5 \cdot 3 = 15 \text{ (см)} \] Ответ: \(15\) см. Задача 4 Дано: \(\triangle ABC\), \(D \in BC\). \(\angle 3 = \angle 1 + \angle 2\). \(CD = 4\) см, \(BC = 9\) см. Найти: \(AC\). Решение: 1. Заметим, что \(\angle 3\) является внешним углом для \(\triangle ABD\). По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \(\angle 3 = \angle 2 + \angle BDA\). 2. По условию \(\angle 3 = \angle 1 + \angle 2\). Сравнивая два равенства, получаем: \(\angle 1 = \angle BDA\). 3. Рассмотрим \(\triangle ACD\) и \(\triangle BCA\). - \(\angle C\) — общий. - \(\angle CAD = \angle 1\). Из предыдущего пункта мы знаем, что \(\angle 1 = \angle BDA\). Однако, для подобия удобнее рассмотреть треугольники \(ACD\) и \(BCA\) иначе. В \(\triangle ABC\) угол \(\angle BAC = \angle 1 + \angle 2 = \angle 3\). В \(\triangle ACD\) угол \(\angle ADC = 180^\circ - \angle 3\). Правильный путь: Рассмотрим \(\triangle ACD\) и \(\triangle BCA\). У них \(\angle C\) общий. По условию \(\angle 3 = \angle 1 + \angle 2\), то есть \(\angle ADC = \angle BAC\). Значит, \(\triangle ACD \sim \triangle BCA\) по двум углам. 4. Из подобия следует: \[ \frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC} \] \[ AC^2 = BC \cdot CD \] \[ AC^2 = 9 \cdot 4 = 36 \] \[ AC = \sqrt{36} = 6 \text{ (см)} \] Ответ: \(6\) см.