Решение задачи 69.7 по физике: интерференция в тонкой пленке

Задача 69.7 Дано: \(n\) — показатель преломления пленки; \(\lambda_1\) — длина волны максимума в проходящем свете; \(\lambda_2\) — длина волны ближайшего минимума в проходящем свете; \(d\) — ? Решение: При нормальном падении света на тонкую пленку оптическая разность хода волн в проходящем свете определяется формулой: \[\Delta = 2dn\] В проходящем свете (в отличие от отраженного) потеря полуволны не происходит, так как свет дважды проходит через границу раздела сред. Условие интерференционного максимума для длины волны \(\lambda_1\): \[2dn = k\lambda_1 \quad (1)\] где \(k\) — целое число (порядок максимума). Условие интерференционного минимума для длины волны \(\lambda_2\): \[2dn = (m + 0,5)\lambda_2 \quad (2)\] где \(m\) — целое число. Так как по условию минимум является ближайшим к максимуму, то порядки интерференции либо совпадают (\(m = k\)), либо отличаются на единицу. Рассмотрим случай \(m = k\) (когда \(\lambda_2 > \lambda_1\)) или \(m = k-1\) (когда \(\lambda_2 < \lambda_1\)). В общем виде разность фаз между соседним максимумом и минимумом соответствует изменению оптического пути на \(\lambda/2\). Из уравнения (1) выразим порядок \(k\): \[k = \frac{2dn}{\lambda_1}\] Подставим это в условие для ближайшего минимума. Разница в оптической разности хода для соседних максимума и минимума составляет половину длины волны. Для фиксированной толщины \(d\) мы имеем: \[2dn = k\lambda_1\] \[2dn = (k \pm 0,5)\lambda_2\] Приравняем правые части: \[k\lambda_1 = (k \pm 0,5)\lambda_2\] \[k\lambda_1 = k\lambda_2 \pm 0,5\lambda_2\] \[k(\lambda_1 - \lambda_2) = \pm 0,5\lambda_2\] \[k = \frac{\pm 0,5\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2} = \frac{\lambda_2}{2|\lambda_1 - \lambda_2|}\] Теперь подставим полученное значение \(k\) в формулу (1): \[2dn = \frac{\lambda_2}{2|\lambda_1 - \lambda_2|} \cdot \lambda_1\] Выразим толщину пленки \(d\): \[d = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{4n|\lambda_1 - \lambda_2|}\] Ответ: \(d = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{4n|\lambda_1 - \lambda_2|}\)