Решение системы уравнений методом замены переменной

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{2} \\ 2x - 3y = 3 \end{cases} \] 1. Рассмотрим первое уравнение системы: \[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2} \] Введем замену переменной. Пусть \( \frac{x}{y} = t \), тогда \( \frac{y}{x} = \frac{1}{t} \). Уравнение примет вид: \[ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \] Умножим обе части уравнения на \( 2t \) (при условии \( t \neq 0 \)): \[ 2t^2 + 2 = 5t \] \[ 2t^2 - 5t + 2 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \] \[ \sqrt{D} = 3 \] Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 \] \[ t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \] 2. Вернемся к замене и рассмотрим два случая: Случай 1: \( \frac{x}{y} = 2 \), откуда \( x = 2y \). Подставим это выражение во второе уравнение системы: \[ 2(2y) - 3y = 3 \] \[ 4y - 3y = 3 \] \[ y_1 = 3 \] Тогда \( x_1 = 2 \cdot 3 = 6 \). Случай 2: \( \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \), откуда \( y = 2x \). Подставим это выражение во второе уравнение системы: \[ 2x - 3(2x) = 3 \] \[ 2x - 6x = 3 \] \[ -4x = 3 \] \[ x_2 = -0,75 \] Тогда \( y_2 = 2 \cdot (-0,75) = -1,5 \). Ответ: \( (6; 3) \); \( (-0,75; -1,5) \).