Решение неравенства (x+2)(x^2-64)/(x^2+15) ≤ 0

Решение неравенства: \[ \frac{(x + 2)(x^2 - 64)}{x^2 + 15} \le 0 \] 1. Проанализируем знаменатель дроби. Выражение \( x^2 + 15 \) всегда положительно при любых значениях \( x \), так как \( x^2 \ge 0 \), а значит \( x^2 + 15 \ge 15 \). Поскольку знаменатель всегда больше нуля, знак всей дроби зависит только от числителя. 2. Перейдем к равносильному неравенству для числителя: \[ (x + 2)(x^2 - 64) \le 0 \] 3. Разложим выражение \( x^2 - 64 \) на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (x + 2)(x - 8)(x + 8) \le 0 \] 4. Найдем корни уравнения \( (x + 2)(x - 8)(x + 8) = 0 \): \[ x_1 = -2, \quad x_2 = 8, \quad x_3 = -8 \] 5. Решим полученное неравенство методом интервалов. Отметим точки на числовой прямой (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое): — На промежутке \( (-\infty; -8] \) выберем \( x = -10 \): \( (-8)(-18)(-2) < 0 \) (минус). — На промежутке \( [-8; -2] \) выберем \( x = -5 \): \( (-3)(-13)(3) > 0 \) (плюс). — На промежутке \( [-2; 8] \) выберем \( x = 0 \): \( (2)(-8)(8) < 0 \) (минус). — На промежутке \( [8; +\infty) \) выберем \( x = 10 \): \( (12)(2)(18) > 0 \) (плюс). 6. Нам подходят промежутки, где выражение меньше или равно нулю: \[ x \in (-\infty; -8] \cup [-2; 8] \] Ответ: \( (-\infty; -8] \cup [-2; 8] \)