Задача 21: Решение задачи про заполнение резервуара трубами

Задача 21. Пусть \(x\) л/мин — скорость заполнения резервуара второй трубой. Тогда скорость первой трубы составляет \(x - 3\) л/мин. Составим таблицу для наглядности: Труба | Объем (л) | Скорость (л/мин) | Время (мин) 1-я | 260 | \(x - 3\) | \(\frac{260}{x - 3}\) 2-я | 260 | \(x\) | \(\frac{260}{x}\) По условию задачи вторая труба заполняет резервуар на 6 минут быстрее, чем первая. Составим и решим уравнение: \[ \frac{260}{x - 3} - \frac{260}{x} = 6 \] Приведем дроби к общему знаменателю \(x(x - 3)\): \[ \frac{260x - 260(x - 3)}{x(x - 3)} = 6 \] \[ \frac{260x - 260x + 780}{x^2 - 3x} = 6 \] \[ \frac{780}{x^2 - 3x} = 6 \] Разделим обе части уравнения на 6: \[ \frac{130}{x^2 - 3x} = 1 \] \[ x^2 - 3x = 130 \] \[ x^2 - 3x - 130 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \] Находим корни уравнения: \[ x_1 = \frac{3 + 23}{2} = \frac{26}{2} = 13 \] \[ x_2 = \frac{3 - 23}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \] Так как скорость пропуска воды не может быть отрицательной, нам подходит только корень \(x = 13\). Ответ: вторая труба пропускает 13 литров воды в минуту.