Решение системы уравнений №102 (1): x - y = 5, x^2 + 2xy - y^2 = -7

Решение системы уравнений №102 (1) Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 5 \\ x^2 + 2xy - y^2 = -7 \end{cases} \] Решим систему методом подстановки. Выразим \(x\) из первого уравнения: \[ x = 5 + y \] Подставим полученное выражение во второе уравнение системы: \[ (5 + y)^2 + 2(5 + y)y - y^2 = -7 \] Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \[ 25 + 10y + y^2 + 10y + 2y^2 - y^2 = -7 \] Приведем подобные слагаемые: \[ 2y^2 + 20y + 25 = -7 \] \[ 2y^2 + 20y + 25 + 7 = 0 \] \[ 2y^2 + 20y + 32 = 0 \] Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: \[ y^2 + 10y + 16 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{36} = 6 \] Находим корни для \(y\): \[ y_1 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ y_2 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \] Теперь найдем соответствующие значения \(x\), подставляя \(y\) в выражение \(x = 5 + y\): 1) Если \(y_1 = -2\), то \(x_1 = 5 + (-2) = 3\) 2) Если \(y_2 = -8\), то \(x_2 = 5 + (-8) = -3\) Запишем полученные пары чисел \((x; y)\) в ответ. Ответ: \((3; -2)\); \((-3; -8)\).