Задача №21: Движение автомобилистов - решение с таблицей

Задача №21 Условие: Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути со скоростью, большей скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Решение: Пусть \( v \) — скорость первого автомобилиста (в км/ч). Пусть \( S \) — весь путь между городами А и В. Тогда половина пути равна \( \frac{S}{2} \). Скорость второго автомобилиста на второй половине пути равна \( v + 6 \) км/ч. Составим таблицу для анализа движения: | Участник | Путь (км) | Скорость (км/ч) | Время (ч) | | :--- | :---: | :---: | :---: | | Первый | \( S \) | \( v \) | \( \frac{S}{v} \) | | Второй (1-я пол.) | \( \frac{S}{2} \) | \( 55 \) | \( \frac{S}{2 \cdot 55} = \frac{S}{110} \) | | Второй (2-я пол.) | \( \frac{S}{2} \) | \( v + 6 \) | \( \frac{S}{2(v + 6)} \) | Так как автомобилисты выехали одновременно и прибыли одновременно, время их в пути одинаково. Составим уравнение: \[ \frac{S}{v} = \frac{S}{110} + \frac{S}{2(v + 6)} \] Разделим обе части уравнения на \( S \) (так как \( S \neq 0 \)): \[ \frac{1}{v} = \frac{1}{110} + \frac{1}{2(v + 6)} \] Приведем дроби в правой части к общему знаменателю \( 110(v + 6) \): \[ \frac{1}{v} = \frac{v + 6 + 55}{110(v + 6)} \] \[ \frac{1}{v} = \frac{v + 61}{110v + 660} \] Воспользуемся свойством пропорции: \[ 110v + 660 = v(v + 61) \] \[ 110v + 660 = v^2 + 61v \] Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ v^2 - 49v - 660 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-660) = 2401 + 2640 = 5041 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{5041} = 71 \] Находим корни уравнения: \[ v_1 = \frac{49 + 71}{2} = \frac{120}{2} = 60 \] \[ v_2 = \frac{49 - 71}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \] Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только значение \( v = 60 \). Ответ: скорость первого автомобилиста равна 60 км/ч.