Решение системы уравнений x^2 + y^2 = 16, xy = 5

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ xy = 5 \end{cases} \] Для решения воспользуемся методом выделения полного квадрата. Заметим, что \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \). 1. Найдем значение \( (x + y)^2 \): \[ x^2 + y^2 + 2xy = 16 + 2 \cdot 5 \] \[ (x + y)^2 = 26 \] \[ x + y = \pm \sqrt{26} \] 2. Найдем значение \( (x - y)^2 \): \[ x^2 + y^2 - 2xy = 16 - 2 \cdot 5 \] \[ (x - y)^2 = 6 \] \[ x - y = \pm \sqrt{6} \] Теперь рассмотрим возможные комбинации знаков, чтобы найти значения \( x \) и \( y \). Случай 1: \[ \begin{cases} x + y = \sqrt{26} \\ x - y = \sqrt{6} \end{cases} \] Складывая уравнения, получаем: \( 2x = \sqrt{26} + \sqrt{6} \Rightarrow x_1 = \frac{\sqrt{26} + \sqrt{6}}{2} \). Вычитая уравнения, получаем: \( 2y = \sqrt{26} - \sqrt{6} \Rightarrow y_1 = \frac{\sqrt{26} - \sqrt{6}}{2} \). Случай 2: \[ \begin{cases} x + y = \sqrt{26} \\ x - y = -\sqrt{6} \end{cases} \] Аналогично: \( x_2 = \frac{\sqrt{26} - \sqrt{6}}{2} \), \( y_2 = \frac{\sqrt{26} + \sqrt{6}}{2} \). Случай 3: \[ \begin{cases} x + y = -\sqrt{26} \\ x - y = \sqrt{6} \end{cases} \] Получаем: \( x_3 = \frac{-\sqrt{26} + \sqrt{6}}{2} \), \( y_3 = \frac{-\sqrt{26} - \sqrt{6}}{2} \). Случай 4: \[ \begin{cases} x + y = -\sqrt{26} \\ x - y = -\sqrt{6} \end{cases} \] Получаем: \( x_4 = \frac{-\sqrt{26} - \sqrt{6}}{2} \), \( y_4 = \frac{-\sqrt{26} + \sqrt{6}}{2} \). Ответ: \[ \left( \frac{\sqrt{26} \pm \sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{26} \mp \sqrt{6}}{2} \right), \left( \frac{-\sqrt{26} \pm \sqrt{6}}{2}; \frac{-\sqrt{26} \mp \sqrt{6}}{2} \right) \]