Решение квадратных уравнений (8 класс)

Вариант 2 Задание 1. Решите уравнение: а) \( 3x^2 - 15 = 0 \) \( 3x^2 = 15 \) \( x^2 = 5 \) \( x_1 = \sqrt{5} \), \( x_2 = -\sqrt{5} \) Ответ: \( \pm\sqrt{5} \) б) \( x^2 + 7x = 0 \) \( x(x + 7) = 0 \) \( x = 0 \) или \( x + 7 = 0 \) \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -7 \) Ответ: \( -7; 0 \) в) \( 12x^2 - 5x - 2 = 0 \) \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 25 + 96 = 121 = 11^2 \) \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{24} = \frac{-6}{24} = -0,25 \) Ответ: \( -0,25; \frac{2}{3} \) г) \( x^2 - 6x - 16 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \) \( x_1 \cdot x_2 = -16 \) Методом подбора: \( x_1 = 8 \), \( x_2 = -2 \) Ответ: \( -2; 8 \) д) \( x^2 - 3x + 11 = 0 \) \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 9 - 44 = -35 \) Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. е) \( (3x - 1)(3x + 1) - (x - 1)(x + 2) = 8 \) Раскроем скобки: \( (9x^2 - 1) - (x^2 + 2x - x - 2) = 8 \) \( 9x^2 - 1 - x^2 - x + 2 - 8 = 0 \) \( 8x^2 - x - 7 = 0 \) \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-7) = 1 + 224 = 225 = 15^2 \) \( x_1 = \frac{1 + 15}{16} = 1 \) \( x_2 = \frac{1 - 15}{16} = -\frac{14}{16} = -0,875 \) Ответ: \( -0,875; 1 \) Задание 2. Найдите сумму и произведение корней \( x^2 + 5x - 3 = 0 \). По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: Сумма корней \( x_1 + x_2 = -b = -5 \) Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = c = -3 \) Ответ: сумма \( -5 \), произведение \( -3 \). Задание 3. Задача про прямоугольник. Пусть \( x \) см — одна сторона, тогда \( (x - 5) \) см — другая сторона. Площадь \( S = x(x - 5) = 84 \). \( x^2 - 5x - 84 = 0 \) \( D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2 \) \( x_1 = \frac{5 + 19}{2} = 12 \) \( x_2 = \frac{5 - 19}{2} = -7 \) (не подходит по смыслу задачи) Стороны равны \( 12 \) см и \( 12 - 5 = 7 \) см. Периметр \( P = 2 \cdot (12 + 7) = 2 \cdot 19 = 38 \) см. Ответ: \( 38 \) см. Задание 4. Найти второй корень и \( t \), если \( x_1 = -2 \) для \( x^2 - 4x + t = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 4 \) \( -2 + x_2 = 4 \Rightarrow x_2 = 6 \) \( t = x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot 6 = -12 \) Ответ: \( x_2 = 6 \), \( t = -12 \). Задание 5. Найти \( d \), если \( x^2 + 5x + d = 0 \) и \( 3x_1 + x_2 = 3 \). Используем теорему Виета: 1) \( x_1 + x_2 = -5 \) 2) \( 3x_1 + x_2 = 3 \) Вычтем из второго уравнения первое: \( (3x_1 + x_2) - (x_1 + x_2) = 3 - (-5) \) \( 2x_1 = 8 \Rightarrow x_1 = 4 \) Найдем \( x_2 \): \( 4 + x_2 = -5 \Rightarrow x_2 = -9 \) Найдем \( d \): \( d = x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-9) = -36 \) Ответ: \( d = -36 \).