Решение задачи по стереометрии: Вариант 2

Вариант 2 Задание 1 Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны между собой. Это признак параллельности прямых. Ответ: а) параллельны. Задание 2 Если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) перпендикулярна этой плоскости, то прямая \(b\) будет перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, а значит и самой прямой \(a\). Ответ: б) перпендикулярны. Задание 3 Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, всегда короче любой наклонной, проведенной из той же точки к этой же плоскости, так как он является кратчайшим расстоянием. Ответ: б) наклонная (наклонная больше перпендикуляра). Задание 4 Дано: \(AB = 13\) см, \(AC = 15\) см. Пусть \(H\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(\alpha\). Тогда \(AH\) — перпендикуляр (расстояние до плоскости). \(HB\) и \(HC\) — проекции наклонных. По условию \(HB : HC = 5 : 9\). Пусть \(HB = 5x\), \(HC = 9x\). По теореме Пифагора из треугольников \(AHB\) и \(AHC\): \[AH^2 = AB^2 - HB^2 = 13^2 - (5x)^2 = 169 - 25x^2\] \[AH^2 = AC^2 - HC^2 = 15^2 - (9x)^2 = 225 - 81x^2\] Приравняем выражения: \[169 - 25x^2 = 225 - 81x^2\] \[81x^2 - 25x^2 = 225 - 169\] \[56x^2 = 56\] \[x^2 = 1 \Rightarrow x = 1\] Тогда \(HB = 5\) см. Находим \(AH\): \[AH = \sqrt{169 - 25 \cdot 1^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}\] Ответ: 12 см. Задание 5 Дано: Расстояние между плоскостями \(h = 4\) дм. Угол между \(AD\) и плоскостью (угол \(\angle DAB'\), где \(B'\) — проекция) равен \(30^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Перпендикуляр (расстояние между плоскостями) и есть этот катет. \[h = AD \cdot \sin(30^\circ)\] \[4 = AD \cdot \frac{1}{2}\] \[AD = 8 \text{ дм}\] Ответ: 8 дм. Задание 6 Дано: ромб \(ABCD\), \(AB = 5\) см, \(BD = 6\) см. \(KA \perp (ABC)\), \(KA = 3\) см. Найти расстояние от \(K\) до \(BD\). 1. Проведем \(AO \perp BD\). В ромбе диагонали перпендикулярны, значит \(O\) — точка пересечения диагоналей. 2. По теореме о трех перпендикулярах, так как \(KA \perp (ABC)\) и \(AO \perp BD\), то \(KO \perp BD\). Значит, \(KO\) — искомое расстояние. 3. В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам: \(BO = OD = 6 / 2 = 3\) см. 4. Из прямоугольного треугольника \(AOB\) (\(\angle O = 90^\circ\)): \[AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4 \text{ см}\] 5. Из прямоугольного треугольника \(KAO\) (\(\angle A = 90^\circ\)): \[KO = \sqrt{KA^2 + AO^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \text{ см}\] Ответ: 5 см.