Решение предела с заменой бесконечно малых

Для решения данного предела воспользуемся методом замены бесконечно малых величин на эквивалентные, как это показано в примере выше. При \( x \to 0 \) справедливы следующие эквивалентности: 1) \( \ln(1 + u) \sim u \), следовательно: \( \ln(1 - 4x^2) \sim -4x^2 \) 2) \( 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \) Запишем решение: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - 4x^2)}{1 - \cos x} = \left[ \frac{0}{0} \right] = \] Заменяем числитель и знаменатель на эквивалентные бесконечно малые: \[ = \lim_{x \to 0} \frac{-4x^2}{\frac{x^2}{2}} = \] Сокращаем на \( x^2 \) и упрощаем дробь: \[ = \lim_{x \to 0} \frac{-4 \cdot 2}{1} = -8 \] Ответ: -8