Решение предела: cos(3x) - cos(x) / sin^2(5x)

Для решения этого предела воспользуемся тригонометрической формулой разности косинусов и методом замены бесконечно малых величин на эквивалентные. Формула разности косинусов: \[ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \] Применим её к числителю: \[ \cos 3x - \cos x = -2 \sin \frac{3x - x}{2} \sin \frac{3x + x}{2} = -2 \sin x \sin 2x \] Теперь запишем предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{\sin^2 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin x \sin 2x}{\sin^2 5x} = \left[ \frac{0}{0} \right] \] При \( x \to 0 \) используем эквивалентности: 1) \( \sin x \sim x \) 2) \( \sin 2x \sim 2x \) 3) \( \sin 5x \sim 5x \), следовательно \( \sin^2 5x \sim (5x)^2 = 25x^2 \) Подставим эквивалентные величины в предел: \[ = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \cdot x \cdot 2x}{25x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x^2}{25x^2} = \] Сокращаем на \( x^2 \): \[ = -\frac{4}{25} = -0,16 \] Ответ: -0,16